全称記号と存在記号の使い分け

よろしくお願い致します．

大学数学の初歩的な部分なのですが，理解できないところがあり，質問させていただいた次第です．
数式ですので問題は添付の画像（TeXで出力したものですが，見辛くて申し訳ありません）を参照いただきたいのですが，この二つの違いがわかりません．
日本語に直して考えるといけないのでしょうか．
全称記号と存在記号の順序について，わかりやすく教えていただけますでしょうか．
お願い致します．

No.3 回答者： lmlovo 回答日時： 2016/06/12 23:32

答えはでているので、有名なたとえ話で説明します。

質問者様の話をもっと身近なもので表現すると
∀男∈クラス,∃女∈クラス,男は女のことが好き
∃女∈クラス,∀男∈クラス,男は女のことが好き
の違いを説明しろ、ということになります
上下ともに日本語になおしますと
全ての男に対して、ある女が存在して、男は女のことが好き
ある女が存在して、全ての男に対して、男は女のことが好き
となります
上の例は「クラスの男全員が、クラスの中に好きな子がいる」となり、
下の例は「クラスの男全員が、クラスのある１人の女の子のことが好き」（大変な状況ですね）となります。
（厳密には違いますが直感的にわかりやすくかきました）
「クラスの男はみんな、クラスのある女のことが好き」と、
「クラスの男は、みんなクラスのある女のことが好き」の違いですね
句読点をつける場所の違いみたいなものです

さらに蛇足ですが、「取り出す順序」ともいえます
つまり、上の例は「まずBからbをとりだすと、そのbよりも大きいAの元aが、少なくとも１つは必ずとりだせる」
下の例は「まずAから適当にaをとりだすと、Bからどんなbをとりだしても、bよりもaの方が大きいといえる」
といったところでしょうか。

この回答へのお礼

お礼が遅くなりました。

つまり、今回の問題でいうと、「順序」が重要なのであり、内容の真偽が問われているわけではないという認識で大丈夫でしょうか。
aが存在する、ということを先に保証しておけば良いということでしょうか。

お礼日時：2016/06/15 21:22

No.2 回答者： rinkun 回答日時： 2016/06/10 09:57

詳しい話はNo.1で書かれているので順序による解釈の違いだけ。

∃a∈A, ∀b∈B; だと、全てのbに対してaは同じです。
∀b∈B, ∃a∈A; だと、ｂごとに別のaを選べます。

この回答へのお礼

bが先に来るとaはbに束縛されるということですね。
それは授業内で教わりましたが、うっかりミスが多いので気をつけたいと思います。
ありがとうございます。

お礼日時：2016/06/15 21:20

No.1 回答者： mide 回答日時： 2016/06/09 03:33

順序というより，まず式の構造をはっきりさせるとよいでしょう。

樹形図に描くか，括弧をつけて範囲を表します。

∃a∈A, ∀b∈B; b<a

であれば

∃a∈A, (∀b∈B; (b<a))

のように書きます。最初の ∃a∈A, はその後ろ全部，∀b∈B は b<a だけにかかっていることが判ります。

さて，式を解釈するには，小さい部分から始めるのが解りやすいと思います。

b<a …… a は b より大きい，ここで a も b も何者か判りません。

∀b∈B; (b<a) …… B に属するどの数（仮に名前をつければ b）でも b<a が成り立つということです。しかし a は何者か，実際にあるのかどうかは判りません。

∃a∈A, (∀b∈B; (b<a)) …… ∀b∈B; (b<a) を満たす a のような数は A の中に，少なくとも1つは存在するということです。よって「Aに属する数でBに属するどの数よりも大きいものが存在する」という意味になります。念のため言い換えると「Bに属するどの数よりも大きいような，Aに属する数が存在する」ということです。

a, b は量化に束縛されていますから，実はこの変数でなくてもたとえば ∃x∈A, ∀y∈B; y<x でも同じです。

もう一方の式でも構造をふまえて解釈してみてください。

この回答へのお礼

お礼が遅れ、失礼いたしました。
Aが存在する、ということを先に保障しなければならないということでしょうか。
だとすると、∀aが先に来ることになるのですね。
ありがとうございます。

お礼日時：2016/06/15 21:19