数学の質問なのですが、写真の積分の問題を解くときにx=rcosθ，y=rsinθと置いて考えたときに

数学の質問なのですが、写真の積分の問題を解くときにx=rcosθ，y=rsinθと置いて考えたときに積分領域が0<=r=<1, -π/2<=θ<=π/2になるらしいのですが、rの範囲がなぜそうなるのか理解できません。円の半径は1だから、例えばrが0と1の間の数になってしまったら半径は1ではなくなってしまうと思ってしまいます。わかる方がいたら解説おねがいします。

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/01/19 10:40

＞円の半径は1だから

いいえ。ここでは「半径 r の円（0≦r）」を考えて、その円周上にある (x, y) を
　x = r*cosθ
　y = r*sinθ
とおいています。
（ここは、別に r≦0 で定義してもよい。そのときには下記の θ の範囲が変わる）

領域 D の定義より
　x^2 + y^2 ≦ 1
であり、これは「半径 1 の円の内側」に相当するので
　0 ≦ r ≦ 1
が決まります。

また、0≦r であることから、領域 D の定義が x≧0 なので
　-パイ/2 ≦ θ ≦ パイ/2
が決まります。

こういうことではなくて、趣旨が異なった質問ですか？

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/01/18 23:51

「円の半径は1だから」がどのような意味なのかわからない. もしかしたらあなたの世界では「『円』と呼んだらその半径は必ず 1」なのかもしれないが, 一般的にはいろいろな半径の円がある.

ちなみに「円」は 2通りの解釈ができることにも注意.

No.1 回答者： スチールウール 回答日時： 2020/01/18 22:42

数学的には正しくない説明ですが

半径1で規定される部分は円周のみです
円内全てを取るために、半径を変えて、円の内部を塗りつぶします