物理 吹き矢の問題

ストローの中に綿棒を入れて、吹き矢のように飛ばす。綿棒始め左端にあり、ストローの中にある間一定の力Fを受け、右端から飛び出す。息を吹き込む強さはいつも同じとする。
ストローの長さをもとのN倍したとき、矢の到達距離は√N倍になることを示せ。
この問題を教えて下さい。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2022/05/05 01:33

ひどい問題だなー。

明言されていないけれども仮定しているに違いないことがいくつもある。

　ともあれ、問題は二つの部分に分かれます。
[1] ストローの長さをN倍にすると、綿棒が射出される瞬間の速さ（初速）は何倍になるか。
　これを考えるには、明言されていない仮定がいくつか必要で、どうやら
　(1) 綿棒がストローから受ける摩擦（動摩擦）の大きさはいつも一定である。
　(2) 綿棒の長さはストローの長さに比べて無視できるほど小さい。
を仮定しているように思われます。（しかし(2)はまるでリアリティーがない。ストローとか綿棒とか見たことないのかよ。）
　さて綿棒はストローの中にある間はずっと一定の力を受けています。力の原因を分類してみれば、息の圧力による力、重力、ストローからの摩擦力と垂直抗力、となりますけれども、仮定(1)により、どれもすっと一定である。言い換えれば綿棒は定加速度運動をしているわけです。これは（運動の向きを気にしないことにすれば）リンゴを落とした時の自由落下運動とそっくりですね。ご承知の通り、その加速度をaとし、加速を始めた時刻を0とすると、時刻tにおける速度はatで、時刻tまでに移動した距離は (1/2)a(t^2)になる。ですから、ストローから飛び出す時刻をTとすると、ストローから発射された時の綿棒の初速はaTです。そして、ストローの長さLは
　　L = (1/2)a(T^2)
ですね。で、ストローの長さがN倍になると、Tはどう変わるか。それをT*としましょう。すると、
　　NL = (1/2)a(T*^2)
です。だから、
　　N(1/2)a(T^2) = (1/2)a(T*^2)
より、
　　T* = (√N)T
初速はこれに比例するから(√N)倍になる。

[2] 初速が√N倍になると、到達距離は何倍になるか。
　これを考えるにも、いくつか明言されていない仮定が必要になります。例えば、
　(3) 綿棒が射出された後は、綿棒は空気抵抗を受けない。
　(4) 射出する角度は変えないものとする。
　(5) ストローの射出口の高さを0として、高さ0の巨大なテーブルかなんかの上で、到達距離を測る。（Fig１参照）
としてみましょう。
　初速が√N倍になると、上記(5)の仮定から、鉛直方向成分の速さも、水平方向成分の速さも、どっちも(√N)倍になります。射出した瞬間の水平方向の速さが√N倍、元の高さまで落下してくるまでの時間も√N倍、そして、水平方向に飛ぶ距離は
　　水平方向の速さ × 落ちてくるまでの時間
ですから、(√N)×(√N) = N倍になる。

　あらら、問題が求めている答と一致しません。

（射出した高さまで落下してくるのに掛かる時間がどうして√N倍になるか：　射出した瞬間の鉛直方向の速さをv0とします。射出の瞬間を時刻s=0だとします。時刻sにおける鉛直方向の速さは（重力加速度をgとして）
　　v(s) = v0 - gs
ですね。で、落下した瞬間Sにおける鉛直方向の速さv(S)は
　　v(S) = -v0
ですから
　　V(S) = v0 - gS = -v0
より、
　　S = 2v0/g
となって、v0に比例します。つまり、v0が√N倍になれば、落ちてくるまでの時間Sもやはり√N倍になる、ということです。）

[2*] しょうがないから、問題が求めている答が出るように仮定を調節しましょう。
　(3) 綿棒が射出された後は、綿棒は空気抵抗を受けない。
はそのままにして、
　(4*) 射出する角度は水平であるとする。
　(5*) ストローの射出口の高さはある値に固定して変えないものとし、高さ0の床面に落ちるまでの水平距離を飛距離とする。
と変えましょう。（Fig 2参照）
　(4*)の仮定により、初速の鉛直方向の速さは0です。そして、(4*)(5*)により、落下するまでにかかる時間は初速によらず一定。ですから、初速が√N倍になれば、飛距離も√N倍。

　というわけで、解答者が問題の不備を補ってなんとかしなくちゃいけない、というヒドイ問題でした。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/05/04 23:14

訂正

初めのストローの長さをLとすると
N倍の長さの垂直成分はNL
↓
初めのストローの長さをLとすると
N倍の長さのストローはNL

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/05/04 23:11

単純化のため（また、普通に吹き矢を吹く様子をイメージして）

ストローは水平であるとします

初めのストローの長さをLとすると
N倍の長さの垂直成分はNL
初めの状態で綿棒が右端に到達するまでにされる仕事Wは
W=FL
N倍ストローでは　W'=F(NL)
このことから、　される仕事が何倍になるか考えます

次に、仕事がすべて運動エネルギーに変わるので
初めのストローの場合　ストロー右端での速度をVoとすれば
(1/2)mVo²=W
同じく　N倍ストローでは
(1/2)mVo'²=W'
ただし　mは綿棒の質量です
このことから、N倍ストローでは初めのストローのより
右端での綿棒の速度が何倍になるかを考えます

そしたら　、綿棒がストローから発射された後を考える
鉛直方向と水平方向に分けて
綿棒は水平方向に発射されるから
鉛直方向の落下時間は初めのストローのとN倍ストローでかわりません
つまり滞空時間はおなじ
その間に水平に進む距離は・・・何倍になるか考えてみればそれが答え

（ストローを水平にしない場合でも結果は同じ
ただし、ストローの右端までの移動で位置エネルギーを考えなくてはいけない分面倒です）