整数問題 11 素数再びの再び

自然数 x,y を用いて
p²=x³+y³
と表せるような素数 p を全て求めよ.
また、このときの x, y を全て求めよ.

補足

与式は因数分解出来そう、でも一筋縄ではいかないのが素数の問題ですよね

試行錯誤中です、

識者の方々のアプローチも教えてください

from minamino

質問者からの補足コメント

• 

  mtrajcpさん、おはようございます
  
  mtrajcpさんは秒殺で解いてしまうので
  
  どうしても返信が遅くなりまして申し訳ございません
  
  今回の私の答案は、全く自信のない答案ですが
  
  ご評価、ご指導ください
  
  from minamino

  
  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/30 08:55

• 

  ご返答ありがとうございます
  
  自分でも考えてみました
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/30 09:31

• 

  ご回答ありがとうございます
  
  >いずれにしろ、mod 3 での考察だけで終わっているから
  p²=x³+y³ を解いたことにはならないんじゃないの？
  
  それは、あり得ないです
  
  全ての整数をmod 3 の世界で議論しているのです
  
  それが合同式の強みなのです
  
  貴方の考え方は、とても頂けるものではありません
  
  どこがシンプルなのか意味不明です
  
  では
  
  from minamino

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/30 11:58

• 

  >補足の答案は、正直、何やってるのか解らない。
  
  どこが理解できないのでしょうか？
  
  よく読んでください。
  
  質問は受け付けます
  
  from minamino

    補足日時：2023/04/30 12:11

• 

  >「３の累乗にならず」がなぜ「不適」になるのか、説明がない。
  >また、p≡0(mod3) に限定できたとしても、そのことから p=3 と言える理由の記述がない
  
  そこまで記述するのは冗長です

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/30 12:45

• 

  3 の倍数の素数は 3 だけです
  
  (3l+1)(3p+1) が、3² になりますか？
  
  始めから、答えは, 3 として議論を始めているのです
  
  それ以降は、その証明を示しています

    補足日時：2023/04/30 12:59

• 

  もともと
  
  貴方の数学力は疑問を持っていたが、、、、
  
  貴方は数学に稚拙すぎる
  
  今まで何度と回答をしているが、まともな回答が全く無い
  
  そもそも、人様に数学を教えられるレベルでない
  
  自分の数学力の稚拙さを自覚して欲しい
  
  from minamino

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/30 14:58

• 

  もうmtrajcp教授と呼ばせてください。
  
  感銘しました
  
  早速、答案を改めました
  
  ご評価、ご指導ください
  
  何卒宜しくお願い致します

  
  No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/30 21:21

• 

  補足
  3L+1 に適する L は、 1 のみ
  これより、3L+1=4
  これにより　(3L+1){(3L+1)²-3xy}は、 4の倍数
  4 の倍数が素数の二乗にはならないで、いいでしょうか？
  
  C　以下の内容は必要ありませんでした
  
  from minamino

    補足日時：2023/04/30 22:49

• 

  mtrajcp教授　おはようございます
  
  
  答えを改めました
  
  どうか、ご評価、ご指導ください
  
  また、これで補足が尽きましたので
  
  如何に、続きを用意しました
  
  https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13448529.html
  
  from minamino

  
  No.18の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/01 08:26

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/30 14:44

だから、その証明ができてないって。

{ (3L+1)² - 3xy } ≡ 1 (mod 3) から導けるのは、
{　} = 3(なんらかの整数) + 1 であって
{　} = 3ｐ + 1 ではないはず。
右辺の p はどこから出た？

そこは些細な書き間違いだとしても、その後にも問題が。
(A) = (3L+1)(3n+1) から「３の累乗にならず」とのことだが、
p = 3m-1, p² = (3L+1)(A) の条件からは
(A) が ３ の累乗でなければならないという必要条件は出ないはず。

その「３の累乗」をどこから持ってきたかを書くのが「証明」なんだよ。
そこを「冗長」で済ますなら、
答案自体が「p=3. 理由は自明」でもたいして差がない。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/30 12:57

＞ そこまで記述するのは冗長です。

そう思うのは勝手だが、
普通に考えると減点ポイントなんだよな。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/30 12:36

よく読んでみた。

なんとなく話の筋は見えてきたが、やはり表が読みにくいとしか。
何言ってんのか判らん。

mod 3 での p² の表が
　p　p²
　0　0
　1　1
　2　1
mod 3 での x³+y³ の表が
　x+y　x²-xy+y²=(x+y)²-3xy　x³+y³
　0　　0　　　　　　　　　　0
　1　　1　　　　　　　　　　1
　2　　1　　　　　　　　　　2
になるので、
p²=x³+y³ がなりたつのは
p≡x+y≡0(mod3) か
p²≡x+y≡1(mod3) かの場合のみ
ってとこまでは判った。

後者を除外するときに
「３の累乗にならず」がなぜ「不適」になるのか、説明がない。

また、p≡0(mod3) に限定できたとしても、
そのことから p=3 と言える理由の記述がない。

答案としての不備は、そんなとこかな。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/30 11:34

補足の答案は、正直、何やってるのか解らない。

いずれにしろ、mod 3 での考察だけで終わっているから
p²=x³+y³ を解いたことにはならないんじゃないの？

もっとシンプルな解法もある。
p² = x³+y³ = (x+y)(x²-xy+y²) から両辺の素因数分解を考えると、
p が素数であることにより
(x+y,x²-xy+y²) = (1,p²), (p,p), (p²,1) のどれかであることが判る。

(x+y,x²-xy+y²) = (1,p²) については...
x,y が自然数であることより x+y ≧ 1+1 = 2 で不適。

(x+y,x²-xy+y²) = (p²,1) については...
p が素数であることより x³+y³ = p² ≧ 2² = 4.
対称性より x ≧ y としても一般性を失わないが、
そのとき 4 ≦ x³+y³ ≦ x³+x³ = 2x³ より x³ ≧ 2.
x が自然数であることより x ≧ 2.
よって x²-xy+y² = (x-y)² + xy ≧ 0 + 2・1 = 2 で不適。

(x+y,x²-xy+y²) = (p,p) については...
x+y = x²-xy+y² を変形して、　←[0]
0 = (x²-xy+y²) - (x+y)
　= { (1/4)(x+y)² + (3/4)(x-y)² } - (x+y)
　= (1/4){ (x+y)² - 4(x+y) + 3(x-y)² }
　= (1/4){ (x+y -2)² - 4 + 3(x-y)² }.
4 = (x+y-2)² + 3(x-y)² ≧ 3(x-y)² より -2/√3 ≦ x-y ≦ 2/√3.
x,y が自然数であることより、x-y は整数であって -1 ≦ x-y ≦ 1.

[0] へ x = y-1, y, y+1 を代入すると、それぞれ
x = y-1,　y²-3y+2=0.　←[1]
x = y,　y²-2y=0.　　　←[2]
x = y+1,　y²-1=0.　　←[3]
となる。二次方程式を解いて、
[1]　(x,y) = (0,1), (1,2).
[2]　(x,y) = (0,0), (2,2).
[3]　(x,y) = (1,0), (2,1).
x,y が自然数になっているものは (x,y) = (1,2),(2,1),(2,2) だが、
(x,y) = (1,2),(2,1) のとき p = x+y = x²-xy+y² = 3 となって成立。
(x,y) = (2,2),(2,1) のとき p = x+y = x²-xy+y² = 4 となって不適。

以上より、解は (p,x,y) = (3,1,2), (3,2,1).

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/29 16:50

x,y自然数

p素数
p^2=x^3+y^3
とする
pは素数だから
p≧2
x^3+y^3=p^2≧4
x=y=1と仮定するとx^3+y^3=2<4だから
x≧2.or.y≧2
だから
x+y≧3
xy≧2
p^2=x^3+y^3≧9
p≧3
pは奇数
x,yの一方が奇数、他方が偶数
x>y.or.x<y
(x-y)^2≧1

p^2=x^3+y^3
p^2=(x+y)(x^2-xy+y^2)

x^2+y^2-2xy=(x-y)^2≧1
x^2+y^2-xy≧xy+1≧3
x+y≧3
だから
p=x+y=x^2-xy+y^2

xy+1≦x^2-xy+y^2=x+y
xy+1≦x+y
xy≦x+y-1
xy-x-y+1≦0
0≦(x-1)(y-1)=xy-x-y+1≦0
(x-1)(y-1)=0

x=1.or.y=1
x=1のとき1+y=1-y+y^2→y=2
y=1のときx+1=x^2-x+1→x=2
だから

(x=1,y=2)または(x=2,y=1)のとき
∴
p=3

No.1 回答者： 胸が大きいのが悩みなの。乳首は桜色だし。 回答日時： 2023/04/29 15:49

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/6986507.html