No.2ベストアンサー
- 回答日時:
1) x+y=1, x^2-xy+y^2=p^2
2) x+y=p, x^2-xy+y^2=p
3) x+y=p^2, x^2-xy+y^2=1
x≦yと仮定して一般性を失わない。
ケース1)
自然数x,yの和は1+1=2以上なので,1)のケースはなし。
ケース2)
x+y=(x+y)^2-3xy(=p)
よって,(x+y)^2-(x+y)=3xy
ここで,相乗平均≦相加平均より,
xy≦(x+y)^2/4
(x+y)^2-(x+y)≦3(x+y)^2/4
(1/4)(x+y)^2≦(x+y)
x+y≦4
(x,y)=(1,1),(1,2),(2,2)が考えられる。
このうち
(x,y)=(1,2),すなわち1^3+2^3=3^2
は解である。
1^3+1^3=2,あるいは
2^3+2^3=16,は素数の二乗ではない。
ケース3) x+y=p^2,x^2-xy+y^2=1
(x+y)^2-3xy=1
(x+y)^2-1=3xy≦3(x+y)^2/4
(1/4)(x+y)^2≦1
(x+y)^2≦4
x+y≦2
x=y=1しかありえないが,1^3+1^3=2は素数の二乗ではない。
よって答えは
p=3の場合のみでx=1,y=2またはx=2,y=1
No.1
- 回答日時:
未解決・アイデア段階です。
x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)
右辺の()内は自然数の演算ですから,二つとも整数です。
これが素数pの二乗と等しくなるので,
1) x+y=1, x^2-xy+y^2=p^2
2) x+y=p, x^2-xy+y^2=p
3) x+y=p^2, x^2-xy+y^2=1
のどれかになります。場合わけして,ダメな場合をつぶしていけば,
答えにたどり着くのではないかと・・・
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