群論の生成群の問題の解き方

この5.2.10の解き方を教えて頂きたいです。
どこか、根本的な部分での理解が誤っている可能性があるので、全体的に見通す為に、解説付きで教えて頂けるとありがたいです。 丸投げの様な形で申し訳ないのですが、よろしくお願い申し上げます。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/07 11:14

(1)

S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}
の位数は6
(1)の位数は1
(12)の位数は2
(13)の位数は2
(23)の位数は2
(123)の位数は3
(132)の位数は3
位数6の元が存在しないから
S3は巡回群ではない

(2)
<(12),(345)>={(1),(12),(345),(354),(12)(345),(12)(354)}
の位数は6

{(12)(345)}^2=(354)
{(12)(345)}^3=(12)
{(12)(345)}^4=(345)
{(12)(345)}^5=(12)(354)
{(12)(345)}^6=(1)

(12)(345)の位数は6だから
<(12),(345)>は巡回群である

(3)
<(12),(34)>={(1),(12),(34),(12)(34)}
の位数は4
(1)の位数は1
(12)の位数は2
(34)の位数は2
(12)(34)の位数は2
位数4の元が存在しないから
<(12),(34)>は巡回群ではない

(4)
Q=(全有理数の集合)
任意のrに対して
r=m/n
となる整数m,自然数nがある
s=m/(n+1)∈Q
とすると
s=m/(n+1)={n/(n+1)}(m/n)={n/(n+1)}r
n/(n+1) は整数でないから
Qは巡回群ではない