まず最初に以下のaとbは互いに素だと仮定しない。
√2が有理数だと仮定する。
すなわち√2はある自然数a,bを用いて分数表記が可能。
より
√2=b/a
2=b^2/a^2
2a^2=b^2
3a^2=a^2+b^2
となる。
ここでaとbは互いに3の倍数でならないといけない
a^2≡0、b^2≡1 mod 3、a^2≡1、b^2≡0 mod 3、a^2≡1、b^2≡1 mod3
だと左辺が3の倍数にならないため。
より
a=3c、b=3dと表記可能
より代入して9で割って
3c^2=c^2+d^2と可能
おなじ理屈でc=3e、d=3fと表記してそこからさらに3の素因数を持った自然数が見つかる。
この操作は無限に可能
つまり最初に互い素にだと仮定しなかったa,bは3の倍数を無限に持つが自然数の約数の個数は有限個ではないといけない。
これはつまり最初に√2が分数表記可能の有理数だと仮定したことに誤りがある。
つまり√2は無理数である
A 回答 (7件)
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No.7
- 回答日時:
> この操作は無限に可能
というふうに直感に訴えるんじゃなしに、キチンと証明が繋がるように述べるには:
まず、述語P(a)は「aは自然数で、3a^2=a^2+b^2 を満たす自然数bが存在する」を表すものとします。
さて、H:「P(a)である自然数aが存在する」を仮定する。
この仮定Hから、「P(a)である自然数aのうち最小のもの」が存在することが言えるので、これをAとする。
そうすると(ご質問に書いてある通り)P(A/3)であることが証明でき、しかも(A/3)はAよりも小さい。
だから、Aは「P(a)である自然数aのうち最小のもの」ではない。これは矛盾なので、仮定Hは偽である。
とやればいいですね。
No.6
- 回答日時:
非常に迂遠な証明だが、合ってることは合ってる。
最後に背理法へ持ち込むことも、世間でありふれた証明と同じだし。
しかし、
「自然数の約数の個数は有限個ではないといけない」を使うなら、
そこからすぐに有理数の分数表現に既約なものが存在すること
が示せるから、迂遠であること著しい。
あと、
「ここでaとbは互いに3の倍数でならないといけない」の理由には、
x mod 3 が 0,1,2 のいづれであっても x^2 mod 3 は 0,1 のどちらか
であることを書き添えないといかんとは思う。
No.4
- 回答日時:
回りくどい。
素因数分解の1意性定理(数論の基本定理)を使え。
つまり、任意の数は素因数分解の仕方が1通りしか無い、と言う定理。
√2が有理数だと仮定すると√2=b/aと表記出来る。
両辺を2乗して整理すると、b²=2a²。
2と言う因数が左辺に偶数個、右辺に奇数個出現する。
これは素因数分解の1意性定理に反するので、√2は有理数では表記出来ない。
No.3
- 回答日時:
何で そんな 回りくどい事を 考えるのですか。
「最初に以下のaとbは互いに素だと仮定しない」ならば、
「2=b^2/a^2、2a^2=b^2」から a, b は 偶数でなければならない。
従って 共通の約数 2c を持つ筈ですから、√2=b/a=2cn/2cm=n/m で、
n. m は 互いに素 で良いのでは。
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