過去質『すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させる方法：ファイナル』について

Question

過去質『すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させる方法：ファイナル』
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13655137.html
で、「『とは言えない』というような曖昧な言い方しかできないが、いずれにしても、表にすべての実数が存在することを証明するには、表に存在しない実数が存在しないことを証明しなければならず、それはいわゆる悪魔の証明なので、否定する場合は、否定する側に表に存在しない実数が存在することを証明してもらうしかない」と書いたところ、「話は異様に長いが、ようするに、その表に現れない具体的な実数を挙げるには表の構成が具体化されてなければならないが、表の構成自体がオプションを含んでいるためそこが曖昧なままでは具体的な反例は挙げようがないってだけな話なんだよなあ...対角線論法とか論理的厳密性とか以前の薄っぺらいトリックに過ぎない。要反省。」という回答を頂いたのですが、

・
・
・
11 → 8.773193…
9 → 4.646104…
7 → 9.563623…
5 → 3.432335…
3 → 7.355038…
1 → 0.222086…
2 → 3.141592…
4 → 1.414213…
6 → 6.661922…
8 → 5.138924…
10 → 2.901877…
12 → 0.222555…
・　　　
・
・

という表に存在しない実数というのは、従来と変わらず、例えば、自然数nと対応している実数の小数第n位の数字の1ずらしたものを小数第n位に入れていった実数、すなわちこの場合は、

0.356343…

という実数の小数第n位の数字と、表の自然数nと対応している実数の小数第n位の数字が異なるので、この実数は表に存在しないと言えるのではないでしょうか。

これはというような回答がない場合はファーストアンサーをベストアンサーにします。

finalbento · Accepted Answer

質問の内容そのものではありませんが「存在しない事の証明」はいわゆる「悪魔の証明」とは限りません。有名どころだけで言っても、フェルマーの最終定理やガロア理論による「五次以上の代数方程式には解の公式が存在しない」はいずれも「存在しない事の証明」になっています。

Tacosan · Answer

どこの誰が
自然数の部分集合と実数は

() → 4.646104…
(1,2,3…) → 9.563623…
(1) → 3.432335…
(1,2) → 0.222555…
・
・
・

というように対応させられない

って書いてるの? 具体的に, どこで誰がそう書いているのか, きちんと指摘してよ.

mtrajcp · Answer

全自然数の集合
N
から
すべての自然数の部分集合の集合
β(N)
への1対1対応全射写像
f
があると仮定する

{x|x∈N-f(x)}
は
自然数の部分集合だから
それに対応する
自然数
a
があるはずで

f(a)={x|x∈N-f(x)}

となるはずだけれども

aは自然数でf(a)は自然数の部分集合だから

a∈f(a)
または
a∈N-f(a)
のどちらかが必ず成り立つはず

a∈f(a)と仮定すると
a∈f(a)={x|x∈N-f(x)}
だから
a∈{x|x∈N-f(x)}
だから
a∈N-f(a)となって
a∈f(a)に矛盾するから

a∈N-f(a)
だから
a∈{x|x∈N-f(x)}=f(a)
だから
a∈f(a)となって
a∈N-f(a)に矛盾するから

f(a)={x|x∈N-f(x)}
となるような
a
は存在しないから

全自然数の集合
N
から
すべての自然数の部分集合の集合
β(N)
への1対1対応全射写像
f
は
存在しない

mtrajcp · Answer

自然数の部分集合と実数は対応させられないとはいっていません

自然数の部分集合
Sに対して

f(S)=Σ{n∈S}1/2^n

と対応させられるのです

f(φ)=0
f(N)=0.111…=1(2進数)
f({1})=0.1,(2進数)
f({2})=0.01,(2進数)
f({1,2})=0.11,(2進数)
f({3})=0.001,(2進数)
f({1,3})=0.101,(2進数)
…
と対応できるのです

この対応f は

β(N)から[0,1]=(0～1までの全ての実数)へ対応しているのです

(0,1)からRへの対応は
h(x)=tan(πx-π/2)
で対応できるのです

mtrajcp · Answer

自然数の部分集合と実数は対応させられないとはいっていません

自然数の部分集合
Sに対して

f(S)=Σ{n∈S}1/2^n

と対応させられるのです

f(φ)=0
f({1})=0.1,(2進)
f({2})=0.01,(2進)
f({1,2})=0.11,(2進)
f({3})=0.001,(2進)
…
と対応できるのです

この対応f は

β(N)から[0,1]=(0～1までの全ての実数)へ対応しているのです

[0,1]からRへの対応は
h(x)=(1/π)arctan(x)+1/2
で対応できるのです

Tacosan · Answer

「自然数」や「実数」をどのようなものと考えるか, というすっごい困ったちゃんな話はあるのだが (例えば「『無限桁』の自然数」というものを認めてしまうと「それってなに?」というところから話をしないといけない), そういう「困ったちゃん」から全力で目をそらしていいなら「2^N と R の間の全単射」は
イメージ的には
とても簡単. 単に「0 と 1 の間の実数」の, 2進小数を持ち出せばいい.

とはいえ実はこれだと「全単射」にならず, そこを補正しようとすると (可能だけど) 面倒くさい.

mtrajcp · Answer

N=(全自然数の集合)
β(N)={S|S⊂N}=(Nのすべての部分集合の集合)=(Nの巾集合)
R=(全実数の集合)
J=(0,1)={x∈R|0<x<1}
K=[0,1]={x∈R|0≦x≦1}
とする
RからJ=(0,1)への写像
h:R→J=(0,1)
h(x)=(1/π)arctan(x)+1/2
と定義すると
hは全単射だから
|R|=|J|=|K|

β(N)からK=[0,1]への写像
f:β(N)→K=[0,1]
S⊂N に対して
f(S)=Σ{n∈S}1/2^n
と
定義すると
fは全射だから
|K|≦|β(N)|

β(N)からRへの写像
f:β(N)→|K|
S⊂N に対して
f(S)=Σ{n∈S}1/10^n
と
定義すると
fは単射だから
|β(N)|≦|K|
↓これと|K|≦|β(N)|から
|β(N)|=|K|
↓|R|=|K|だから
|β(N)|=|R|

Nからβ(N)への全射は存在しないから

|N|<|β(N)|=|R|
|N|<|R|

NからRへの全射は存在しない

mtrajcp · Answer

N=(全自然数の集合)
β(N)={S|S⊂N}=(Nのすべての部分集合の集合)=(Nの巾集合)
R=(全実数の集合)
とする
β(N)からRへの写像
f:β(N)→R
S⊂N に対して
f(S)=Σ{n∈S}1/10^n
と
定義すると
(
例えば
f(φ)=0
f({1})=0.1
f({2})=0.01
f({1,2})=0.11
f({3})=0.001
…
)

fは単射になるから

β(N)の濃度はRの濃度以下
|β(N)|≦|R|
になる

Nからβ(N)への全射は存在しないから

|N|<|β(N)|≦|R|
|N|<|R|

NからRへの全射は存在しない

mtrajcp · Answer

×
その並びの中には要素数無限の部分集合Bは存在しないから
×

N=(全自然数の集合)
β(N)={S|S⊂N}=(Nのすべての部分集合の集合)=(Nの巾集合)
R=(全実数の集合)
とする

Nからβ(N)への全射写像f があり
()・(1,2,3…)

(1,2)・(1,3)・(1,4)…
(2,3)・(2,4)・(2,5)…
・
・
・

(1,2,3)・(1,2,4)・(1,2,5)…
(2,3,4)・(2,3,5)・(2,3,6)…
・
・
・

(1,2,3,4)・(1,2,3,5)・(1,2,3,6)…
(2,3,4,5)・(2,3,4,6)・(2,3,4,7)…
・
・
・

というように規則的に並べることができたと仮定すると

そのとき
Nの各元aのfによる像f(a)はβ(N)の元,すなわちNの部分集合である
したがって
Nの任意の元aに対し,
a∈f(a) または　a∈N-f(a)
のいずれか一方しかも一方だけが必ず成り立つ
いま,
a∈N-f(a)であるようなNの元a全体のつくるNの部分集合をBとする.すなわち
B={x|x∈N-f(x)}

任意のa∈Nに対して
a∈f(a) または　a∈N-f(a)
のいずれかである
もし　
a∈f(a)　ならば　a∈N-f(a)でないから　a∈N-B となるから
a∈f(a)-B だから　f(a)≠B
もし
a∈N-f(a)　ならば a∈B となるから
a∈B-f(a) だから　f(a)≠B
以上で
任意のa∈Nに対して
f(a)≠B
であることが証明された

そのfによって規則的に並べたという並びの中には
要素数無限の部分集合

B={x|x∈N-f(x)}

が存在しないから

×

fが全射であることに矛盾するから

∴
Nからβ(N)への(1対1対応)全単射は存在しない
×

Tacosan · Answer

{1, 2, 3} の「部分集合」なら, 空集合や自分自身を忘れちゃダメだよ.

さておき, 例えば「β(N)って整列させられないんですか。」の「整列」ってどういう意味? 「整列」という言葉自体が
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
のように特別な意味を含みうるということは理解できているんだよね?

なお任意の集合 X に対し X と 2^X の間に全単射が作れないことは (対角線論法で) 証明されている. もちろん「全単射が作れるんじゃね?」と思うのは勝手だが, それを表明するのであればせめて根拠 (らしきもの) は見せてもらいたい.

過去質『すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させる方法：ファイナル』について

質問の内容そのものではありませんが「存在しない事の証明」はいわゆる「悪魔の証明」とは限りません。

どこの誰が

全自然数の集合

自然数の部分集合と実数は対応させられないとはいっていません

自然数の部分集合と実数は対応させられないとはいっていません

N=(全自然数の集合)

N=(全自然数の集合)

×

{1, 2, 3} の「部分集合」なら, 空集合や自分自身を忘れちゃダメだよ.

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