ー∞から∞までの複素積分について

実軸上の－R≦ｘ≦Rを直径とする半円の経路を積分して求めるやり方がありますよね。たとえば

1/(x^2+a^2) ただし（a>0)

をー∞から∞までｘで積分するという問題で、これを上半円周上の経路積分、1/(z^2+a^2)に置き換えると、
半円部分の積分はZ＝R*e^iθとおいてやると、被積分関数はRie^iθ/(R^2*e^2iθ+a^2)となりますが、これがR→∞のときに０に収束するということがいいたいのですが言えません。どうしたらいえるでしょうか？

何か意味不明な文章かもしれませんがよろしくお願いします。

No.4 回答者： noname#20644 回答日時： 2006/08/18 12:07

分母を実数にするため、分母子に(R^2*cos2θ+a^2-i・R^2*sin2θ)をかける。

Rie^iθ/(R^2*e^2iθ+a^2)=Rie^iθ*(R^2*cos2θ+a^2-i・R^2*sin2θ)/(R^2*e^2iθ+a^2)*(R^2*cos2θ+a^2-i・R^2*sin2θ)
分母=(R^2*cos2θ+a^2)^2+(R^2*sin2θ)^2=R^4+2*R^2*a^2*cos2θ+a^4
分子実部=-R*sinθ*(R^2*cos2θ+a^2)+R*cosθ・R^2*sin2θ
分子虚部=R*cosθ*(R^2*cos2θ+a^2)+R*sinθ*R^2*sin2θ
従って、
実部=(-R*sinθ*(R^2*cos2θ+a^2)+R*cosθ*R^2*sin2θ)/(R^4+2*R^2*a^2*cos2θ+a^4)
={(-sinθ*cos2θ+cosθ*sin2θ)/R-sinθ*a^2/R^3}/(1+2*a^2*cos2θ/R^2+a^4/R^4)
虚部=(R*cosθ*(R^2*cos2θ+a^2)+R*sinθ*R^2*sin2θ)/(R^4+2*R^2*a^2*cos2θ+a^4)
={(cosθ*cos2θ+sinθ*sin2θ)/R+cosθ*a^2/R^3)/(1+2*a^2*cos2θ/R^2+a^4/R^4)
という形になり、R→∞のとき、実部、虚部とも0に収斂する。

No.3 回答者： KENZOU 回答日時： 2006/08/14 08:10

この問いに対する答えは、大抵の複素関数論のテキストに載っていると思いますが。

。。ここではさしずめココ↓
http://www.k2.dion.ne.jp/~yohane/000suugaku511.htm
をご覧になられるか、ある程度基本的なところから頑張るのであれば、ココ↓
http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/LaurantExpa …
が参考になるかもしれません。いずれにしてもご自分であと一歩踏みだされてはどうでしょうか(←老婆心）。

No.2 回答者： guuman 回答日時： 2006/08/12 21:50

|上半円周積分|≦π・R/(R^2-a^2)→0(R→∞)

の書き間違い

No.1 回答者： guuman 回答日時： 2006/08/12 18:37

|上半円周積分|≦π・R/(R^2-a^2)→0(R→0)