缶ジュースの慣性モーメント？

Question

初めまして。初の投稿です。私は今医療系の大学なのですが、違う分野（地球環境）の大学院を受験しようと考えていて、物理（力学と熱）と数学を勉強しています。しかし、独学の為かわからないことが幾つもあり、頼れそうな先生や知り合いがいなかったので、ここで質問させて頂きたく登録しました。これから夏頃まで（？）宜しくお願いします。

早速ですが、今過去問を解いていてわからない問題です。
「中身の入っている常温の缶ジュース、完全に凍らせた缶ジュースと中身を飲み干して空になった缶の三つを斜面を滑ることなく転がせた場合、下に降りる速さの順番はどうなるか？その理由も答えよ。必要ならば式も書いてもいい。」
慣性モーメント（Ｉ＝mr^2）の違いだろうとは何となくわかるのですが、どう違うのかわからないです。
凍らせたから、ジュースの体積が変化してrも変化するのか
なとか、色々と考えてみてはいるのですが・・・

ht1914 · Accepted Answer

まず一度やってみて下さい。すぐに結果が出るはずです。

中のつまった２つの缶の場合についてです。
私は中に小石と発泡スチロールを詰めて質量を同じにしたものでやりました。２つを１ｍぐらいの長さの坂の上から同時に転がすと歴然とした差が出ます。教室の後ろの人が見ていても分かるものです。結果を見てから「どうしてと思う？」と聞きました。（授業では凍らせたものを使うのはやりにくいのでこういうのを用意しました。）
高校ではエネルギーだけで話を済ませました。始めに持っている位置エネルギーは同じです。回転に使わなければいけないエネルギーが多くなると落下のスピードが遅くなるという定性的な話で済ませました。中にあるもの全てを一緒に回さなければいけない場合と、缶（と液体の一部）だけを一緒に回すだけでいい場合とです。

カラの缶の場合は質量が変わっています。直接は比較がしにくいです。これは別に考察をしています。「半径、質量が同じで周辺部分に質量が集中している車輪と中央部に近いところに質量が集中している車輪が同じ回転数で回っているとするとどちらの回転の運動エネルギーが大きいか？」です。これはすぐに分かります。周辺に集中している方が大きいです。同じ位置エネルギーを与えたとき回転にたくさんエネルギーを必要とする方が並進の運動エネルギーは小さくなると考えられます。

缶だけの場合と凍った場合は剛体ですので慣性モーメントだけの議論でもすみます。難しいのはジュースが入っている場合でしょうね。

＃５の方の御解答と同じ結論です。

noname#26663 · Answer

ドラム缶に置き換えてみました。＾○＾

中に金属が入っていると、しんどい。
（全部動かすから）

中が水だとらくだ。
（缶だけ回せば良い。水は、回さずに押せばいい。＾＾）

空だとらくだ。
でも、空気抵抗に弱いのと慣性力が弱いのでレースで負けそう。

sabian · Answer

この手の問題は、ざっと思考実験してみてそれから式を立てるといいです。
中身の入っているジュースは、モーメント≒0、重さは重い
凍っているジュースは、モーメント＝剛体のそれ、重さは重い
空のジュースは、モーメント≒0、重さは軽い
ということです。
ただ、最後の場合はモーメント＝0としてしまうと計算できないので、
最後の場合だけモーメントを考慮します。

余談ですが、軸に平行なリブをつけた缶を考えるとおもしろいです。
ジュースはリブがあるので共に回転しますが、それぞれのリブの
個室の中でも回転します。

noname#74145 · Answer

空気抵抗を無視できるとして、あくまで想像ですが。

１、中身の入っている常温の缶ジュースの場合・・・缶は回るがジュースは回りにくい。缶をまわそうとする力、これは全質量に比例します、と言うことは２と同じなのですが。しかし内壁から離れた部分は回転する必要がないので缶自体は早く回る。

２、完全に凍らせた缶ジュース・・・回そうとする力は１と同じですが全質量が回転するので慣性が大きく１よりは回りにくい、つまり遅い。

３、空になった缶・・・これは回そうとする力は弱い。しかし質量が小さい為これだけでは特に回りにくいと言う事はない。しかし全質量に対して周囲に集中する部分が大きいので回転しにくい、つまり遅い。

想像ですが１２３の順に早く転がると思いますが・・・

※凍らせるとｒが変化するのは確かですがそれは微々たる物で主に缶の平らな部分を膨らませる方向に行くのではありませんか。
周囲の長さが決まっている外周が大きくなると言うことは鉄板が伸びるという事ですから考えにくく、むしろ横にボコッと膨らみやすいと想像できるわけです。

何しろ素人ですから間違っていても責任は取れませんのでそこんとこヨロシク！（笑い

91091 · Answer

エネルギー保存則から、中身が動かなければ、若干の計算の後に、
ｄｔ／ｄｖ＝１／（Ｍ＋Ｉ／ａ＾２）×Ｍ×ｇ×ｓｉｎθ
となります。Ｍは落ちる物体の質量、ｇは重力加速度、θは斜面の角度、Ｉは慣性モーメント、ａは半径です。大抵の力学の教科書に書いてあると思います。
ＭとＩの関係で、落ちる速度が決まります。
空の場合と、中身が凍っている場合は、この式できまります。
空の場合と中身のある場合の、ＭとＩの相関関係から、中身のあるほうが加速度が大きい（速い）でしょう、多分。実際に数値を仮定して確認すれば確信できると思います。
中身が、液体の場合は、同じＭに比べてＩが小さいので、液体の方が速いでしょう。
結局、
中身が液体＞中身が凍っている＞空
の順番だと思います。

saisho_wa_goo · Answer

設問の意図としては、半径の微妙な変化や、中身（液体）の摩擦などを考慮しなければならないような問題ではないでしょう。

要するに、添え字の１を缶、２をジュースとして、
ケース１（中身の入った常温の缶ジュースの場合）
　　m=m1+m2 , I=I1
ケース２（中身を凍らせた缶ジュースの場合）
　　m=m1+m2 , I=I1+I2
ケース３（空の缶のみの場合）
　　m=m1 , I=I1
の３ケースで、どれが一番速く転がり落ちるかという事になるのでは？

計算方法は忘れました。
あとはよろしく。

ojisan7 · Answer

条件を与えて、計算してみて下さい。「凍らせたから、ジュースの体積が変化してrも変化する」というのも、面白い指摘だと思います。ご自分で色々と考えてみて下さい。下記のURLも参考にして下さいね。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2170826.html

zenzaburou · Answer

＞中身の入っている常温の缶ジュース
空気が入っています。
重心点の位置、流体摩擦と転がり抵抗、慣性モーメント。要素は色々でてきます。
計算してみましょう。

缶ジュースの慣性モーメント？

まず一度やってみて下さい。

ドラム缶に置き換えてみました。

この手の問題は、ざっと思考実験してみてそれから式を立てるといいです。

空気抵抗を無視できるとして、あくまで想像ですが。

エネルギー保存則から、中身が動かなければ、若干の計算の後に、

設問の意図としては、半径の微妙な変化や、中身（液体）の摩擦などを考慮しなければならないような問題ではないでしょう。

条件を与えて、計算してみて下さい。

＞中身の入っている常温の缶ジュース

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