作用素ノルムについての質問です。
V,W:ノルム空間 L:V→Wを線形写像とする。
定義 ∥L∥=sup{∥L(x)∥ | ∥x∥=1}
=sup{∥L(x)∥ | ∥x∥≦1}
=sup{∥L(x)∥/∥x∥ | x≠0}
とする。
このとき∥L∥=inf{c | ∥L(x)∥≦c∥x∥}を証明したいのですが、
自分で考えた証明を以下書きます。
∥L(x)∥≦c∥x∥ より両辺∥x∥で割り
∥L(x/∥x∥)∥≦c.
(1)inf{c}≦ sup{L(x/∥x∥)}=∥L∥は自明。
(2)A={c | ∥L(x)∥≦c∥x∥}とする。
Aは∥L(x/∥x∥)∥の上界より,任意のc∈Aに対して
sup{L(x/∥x∥)}≦c より
∥L∥≦c.
両辺下限を取ると
inf{∥L∥}≦inf{c}
∥L∥の定義より∥L∥は任意のxで成り立つのでxによらない。
故に∥L∥≦inf{c}
よって∥L∥=inf{c | ∥L(x)∥≦c∥x∥}
□
以上,自分なりの証明なのですが,間違っている箇所や別の証明方法があれば教えてください。
見にくいと思いますがよろしくお願いします。
A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
(1) infA≦∥L∥を言うには∥L∥∈Aを、
(2) infA≧∥L∥を言うにはc≧∥L∥(for ∀c∈A)を示せば十分です。
どちらもAの定義(c∈A⇔∥L(x)∥/∥x∥≦c(for ∀x))からすぐに分かるのですが、
確かにinf,supの定義に忠実にやると少し大変ですね・・・
おおむね良いと思うのですが、例えば
> 両辺下限を取ると
> inf{∥L∥}≦inf{c}
>∥L∥の定義より∥L∥は任意のxで成り立つのでxによらない。
などは、「∥L∥はAの下界に含まれるので」と言い換えたほうがいいでしょう。
あと、B={∥L(x/∥x∥)∥|x∈V}とおいて書き直せばもっと見通しよくなると思います。
No.1
- 回答日時:
(1)がおかしい。
(2)の証明はちょっとまだるっこしいが、ok。
(2)はほとんど自明なので、(1)をきちんと証明しやんといかん。
ただ、ちょっと気になる点が。
>このとき∥L∥=inf{c | ∥L(x)∥≦c∥x∥}を証明したいのですが、
この{c | ∥L(x)∥≦c∥x∥}をもっと正確に書けますか?
分かっているとは思うが、書き方が不正確だから、念のため。
>∥L(x)∥≦c∥x∥ より両辺∥x∥で割り
∥x∥で割るためには、x≠0が必要です。
>∥L(x)∥≦c∥x∥ より両辺∥x∥で割り、∥L(x/∥x∥)∥≦c.
これは、素直に∥L(x)∥/∥x∥≦cでいいのでは?Lは線形だから、正しいけれど。
(1)の証明は、まずこれらをハッキリさせてからね。
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