３次の多項式が重解をもつ条件

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質問者：bistort
質問日時：2009/12/09 00:30
回答数：4件

以下問題文です。

３次の多項式f(x)=x^3-a*x^2+b*x-1について次の問いに答えよ。
(1)f(x)=0が重解をもつならば，f(-1)≦0が成り立つことを示せ。
(2)a+b+2=0とする。f(x)=0が重解をもつとき，a，bの値と，f(x)=0の解を全て求めよ。

三次関数のグラフを漠然と思い浮かべ微分を試みたものの
具体的な方針には結びつかず滞っています。
どなたか，動機を教授頂きたいと思います。

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回答 (4件)

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No.1ベストアンサー

回答者： info22
回答日時：2009/12/09 01:06

解き方

(1)重解はf(x)が極大または極小となる時のxの値のどちらかに一致する
重解をpとおけば、「f'(p)=0」かつ「f(p)=0」を満たす。
つまり、
f(x)=x^3-a*x^2+b*x-1=(x+2p-a)(x-p)^2
恒等式なのえ係数を比較して連立方程式を立てて(a,b)について解くと
a=(2*p^3+1)/p^2,b=(p^3+2)/p …(◆）
f(-1)=(-1+2p-a)(-1-p)^2=-(1+p^2){(p+1)^2}/p^2≦0

(2)（◆）のa,bを　a+b+2=0に代入してpを求める。
そのｐを（◆）の式に代入すればa,bが求まる。
a=b=p=-1
a,b,pをf(x)の式とf'(x)の式に代入して
f(x)=(x-2+1)(x+1)^2=(x-1)(x+1)^2
f'(x)=3x^2-2ax+b=3x^2+2x-1=(x+1)(3x-1)
後はご自分でどうぞ。

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この回答へのお礼

info22さん，ご回答ありがとうございます。

重解をpであれば「f'(p)=0」かつ「f(p)=0」を満たす
この恒等条件を踏まえ具体的な解説を参考に
したところ導出に至りました。

さらに，類題に着手し理解を深めたいと
思います。

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お礼日時：2009/12/09 15:39

No.4

回答者： mister_moonlight
回答日時：2009/12/09 12:54

＞三次関数のグラフを漠然と思い浮かべ微分を試みたものの具体的な方針には結びつかず滞っています。

その方針でも解けるよ。

f(x)＝x^3-a*x^2+b*x-1　が重解αをもつから、f（α）＝f´（α）＝0が成立する。
つまり、α^3-a*α^2+b*α-1＝3α＾2-2aα＋b＝0。b＝-3α＾2＋2aα　‥‥(1)　であるから、α^3-a*α^2+b*α-1＝0より　2α＾3-a*α^2＋1＝0。
(1)よりα≠0から、a＝（2α＾3＋1）/α＾2、b＝（α＾3＋2）/α　となる。
f（-1）＝-（a+b+2）＝‥‥‥＝-(1+α^2){(α+1)^2}/α^2≦0　等号はα＝-1の時。

（2）は自動的に解けるだろう。

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この回答へのお礼

mister_moonlightさん，
ご回答ありがとうございます。

ご指摘のf（α）＝f´（α）＝0に気づかず
滞っていました。
これによってご丁寧な解説を基にすれば，
(2)に関しても導出されました。

今後もご懇意にさせて頂きたいと
思いますので，宜しくお願い致します。

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お礼日時：2009/12/09 15:03

No.3

回答者： f272
回答日時：2009/12/09 01:12

(1)

もしf(-1)>0であればどうなるか？
Mを十分に大きな正の数とすれば
f(-M)<0かつf(-1)>0かつf(0)=-1<0かつf(M)>0
が成り立つから、重解を持つことは不可能でしょ。
(2)
f(-1)=-a-b-2=0かつf(0)<0になるから、重解を持つのであれば(1)で考察したように、それは-1しかありえません。すると3つの解の積が1であることから、f(x)=0の解は-1(重解),1とわかります。
このとき根と係数の関係を思い浮かべればa=-1-1+1=-1で、b=-1-1+1=-1ということは簡単です。