2次関数のグラフ　対称移動について

Question

数年、数学から離れていてもう一度やり直そうとしているのですが
分らない事が多いので困っています。

問題：放物線　y＝x2ーax-7　が直線x=-3 に関して対象であるように、定数aの値をもとめよ。（x2はx２じょうのつもりです）

という問題なのですが、

１）x=-3が、直線と書いてある意味が分らない。

２）解答はー・ーa／２×２＝ー３でa＝ー１２となっていたのですが、
　　なぜー・b／２aの公式を使うのか分りません。

どうか、分かりやすく教えてください！

また、この問題は基礎でしょうか？？

master-h · Accepted Answer

２次元の空間の位置は、座標と言う形で表せます。
例えば、（Ｘ，Ｙ）＝（３、４）というようにです。
紙に水平な直線と垂直な直線をひいて見てください。
水平な方をＸ軸といい、右にいくほど大きく（＋）になります。
垂直な方をＹ軸といい、上にいくほど大きく（＋）になります。
ちなみに軸同士が交わっている点を原点（Ｘ，Ｙ）＝（０，０）といいます。
例えの（３，４）というのは、原点から見て、右方向に３つ、上に４つの位置にある点を言います。

さて、ここから本題です。
この座標の読み方を知ってもらった上で、説明します。
直線というのは、無数の点（座標）の集まりなんです。
Ｙ＝Ｘという式で表す式は、（Ｘ、Ｙ）＝（０、０）、（Ｘ、Ｙ）＝（１、１）、
（Ｘ、Ｙ）＝（２、２）・・・のように無数の座標のつながりなわけです。
では、Ｘ＝－３というのは、どういうことなのか？
それは、常にＸの座標が－３の点の集まりなんです。
（Ｘ，Ｙ）＝（－３、０）、（Ｘ，Ｙ）＝（－３、１）、（Ｘ，Ｙ）＝（－３、２）・・・のように。
これは、Ｙ軸（Ｘ＝０）に平行で、Ｘ方向に－３の位置にある線のことです。

次に、放物線ですが、グラフ上では、アルファベットのＵのような形をしています。
問題のｙ＝x2－aｘ－７の場合。
Ｘ＝－３で対象というのは、Ｕ型が、Ｘ＝＝－３で、左右対称になることを
示しています。
これは、頂点（Ｕ型の1番底の部分）のＸの座標が、－３だと言う事です。
また、質問の公式は、２次式の一般的なもので
ｙ＝（ax２）＋（ｂｘ）＋ｃというものを変形するところから来ています。
この式を変形するとｙ＝ａ（x2＋（b/a）x）＋Ｃ
　　　　　　　　　　＝ａ（ｘ＋（b/２ａ））2＋Ｃ－（b/２ａ）2
となります。
放物線の頂点というのは、このように変形した式から読み取れるのです。
この場合、Ｘ＝－（ｂ/２ａ）、Ｙ＝Ｃ－（b/２ａ）2です。
これの理由は、説明すると長いので、また質問してください。
とりあえず、これが、そのまま公式になっているようです。
問題では、頂点が－３だということが読み取れますので、
公式に当てはめると・・・
Ｘ＝－（ｂ/２ａ）より、－３＝－（（－ａ）／２）で、ａ＝－６！？
－１２じゃなくて、－６じゃないですか？

だって、頂点は１つでしょ？
となると、－１２だと
ｙ＝x2＋１２ｘ－７のとき、Ｘ＝－３だとＹ＝３８
これを元に、３８＝x2＋１２x－７を変形すると・・・
x2＋１２x－４５＝０になって、
これは、（X＋１５）（X－３）＝０になって、
Ｘの値が２つ出てきてしまうのですが・・・？
おれ、間違ってるのかな？

kokki · Answer

＞１）x=-3が、直線と書いてある意味が分らない
について・・・だけ。

グラフを書いて見れば一目瞭然です！

xというのは横線ですから、そのxのメモリのマイナス方向に３進めばyの線に並行する直線になります。

わからなかったらごめんなさい・・・

kexe · Answer

１）直線x=-3とはグラフ上でxの値が-3であり
yの値は任意（いくつでもいい）の点を線で結んだものです。

２）解の公式でしたっけ、それの前部分ですね。
解の公式は-b±ルート(4ac)／2aですよね。
ここで解の公式の答えは-b／2aという点から
左右に等距離の点にあることがわかりますか？
たとえば ３±２であれば、３を中心に２はなれた点が解となりますよね。
もうわかりましたか？３を中心に、つまり
解の公式の部分がその二次関数の中心となるわけなんです。
グラフをかいてみればわかると思うので書いてみてはいかがでしょうか
わかっていただければ光栄です。

基礎がわかっていれば解ける問題といったところではないでしょうか。
がんばってください。

denden_kei · Answer

数学屋さんではないのですが、一応理系ということで。わかりにくい部分があったらすみません。

＞１）x=-3が、直線と書いてある意味が分らない。 

 たとえばy=xを「直線y=x」と呼ぶことはよろしいでしょうか。x-y座標平面上に原点を通る直線が描かれますよね。
 ここで、x=-3を考えます。これは、実は「x=-3、yは任意の実数」ということです。これを満たす(x,y)の組を座標平面に書くと、ｘ軸とx=-3で直交する直線が書かれます。そのため、「直線x=-3」と呼ぶわけです。

＞２）解答はー・ーa／２×２＝ー３でa＝ー１２となっていたのですが、 
　　なぜー・b／２aの公式を使うのか分りません。 

確かにこれだけでは飛躍しすぎですね。丁寧に考えていきましょう。
始めに、座標平面上での放物線の形を考えてみます。
問のy=x^2-ax-7   ,,,(1)
  の場合、y=(xの二次関数)ですからちょうど釣り鐘を逆さにしたような形が予想できます。さらに、この図形は吊りがねのちょうど中央部に、x軸に垂直な「軸」を考えるとこの軸に関して対称です。
  このことから、この問はこの対称「軸」がx=-3に一致するように定数aを定めればいいことになります。
  x=-3を軸とする放物線の式を書く(x^2成分は１とする)と、
y=(x-3)^2 + c  cは定数  ...(2)
となります。なお、これはx=0(y軸)を対称軸とする放物線y=x^2をx方向に-3、y方向にc移動したものと考えます。x=0をx方向に-3移動すればx=-3になることは大丈夫ですね？(cは問には関係しないので無視。)

  ここまでくればできたも同然です。式(1)と(2)は同じ式(恒等式)です。よって(2)を展開し、xの一次の係数を比較すると、
a = -6   ...あれ？a=-12じゃないですよ。
質問の文章から推定しますと、放物線の式がy=2 x^2- ax -7 （x^2の係数が１でなく２！）だったのではないでしょうか？この場合、同様に考えて、
y=2(x-3)^2+c のx一次の係数を比較するとa=-12となります。

 -b/2aの公式とは、２次方程式の解の公式のことでしょうか？解の公式の導出過程を考えると、実は類似の計算をしていることが分かります。

＞また、この問題は基礎でしょうか？？
 放物線の性質に関する学習上重要なポイントを押さえた問題と言えます。かといって難易度が低いという訳ではありません。

数学をやりなおしているとのこと、がんばってくださいね。

134 · Answer

下に回答がありますが…

1)ｘ＝－３
ｙの値に関係なく、ｘは常に－３という値である　ということから、ｘ軸で－３を横切り（これをｘ切片といいますが）、ｙ軸に平行な直線ということになります。

2)一般的に　ｙ－ｂ＝（ｘ－ａ）＾２　　（１）　というグラフは、
　　ｙ＝ｘ＾２　（２）というグラフをｘ軸方向に＋ａ、ｙ軸方向に＋ｂ平行移動したグラフになります。

　実際

　　ｘ＝　　　－２ａ　　　　－ａ　　　　　０　　　　　ａ　　　　　２ａ
（１）＝　　　９ａ＾２　　　４ａ＾２　　　　ａ＾２　　　　　０　　　　　ａ＾２
（２）＝　　　４ａ＾２　　　　ａ＾２　　　　　０　　　　　ａ＾２　　　４ａ＾２

　と、変化します。

　直線ｘ＝－３に対称になる放物線は、

　　　　ｙ－ｂ＝（ｘ＋３）＾２

という方程式になります。
　これを展開して　　ｙ＝ｘ＾２＋６ｘ＋９－ｂ

　これが、ｙ＝ｘ＾２－ａｘ－７　と　恒等式（要するに同じということ）になるので、　－ａ＝＋６　　したがって、ａ＝－６　となるはずです。

　　書いた２）の解が－１２となっているのはよくわかりません。
　ご確認いただけましたら幸いに思います。

　なお、＾２は二乗を意味しています。念のため

2次関数のグラフ 対称移動について

＞１）x=-3が、直線と書いてある意味が分らない

１）直線x=-3とはグラフ上でxの値が-3であり

数学屋さんではないのですが、一応理系ということで。

この回答への補足

下に回答がありますが…

２次元の空間の位置は、座標と言う形で表せます。

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