中2連立方程式の応用、濃度に関する問題について。

中2連立方程式の応用、濃度に関する問題について。
Ａ、Ｂ２種類の食塩水がある。Ａ200gとＢ400ｇを混ぜ、水を100ｇ蒸発させると26％の食塩水になる。
また、Ａ400gとＢ200gを混ぜ、水を400ｇ加えると11％の食塩水になる。Ａは何％の食塩水か。
式を組み立てると
Ａの食塩水がX(ｇ)、Ｂの食塩水がy(ｇ)として、
200×x／100＋400×y／100－100＝26／100－(1)
400×x／100＋200×y／100＋400＝11／100－(2)
と組み立てのですが、計算しても答えが出ません。どうやって解けばいいですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： kittenandcat 回答日時： 2010/06/18 06:16

食塩の重さに注目して問題を解いてみました。

Ａ200g　に含まれている食塩の重さをa(g),Ｂ200gに含まれている食塩の重さをb(g)とします。

そうすると、Ａ400gに含まれる食塩の重さは2a(g),B400gに含まれる食塩の重さは2b(g)になります。

Ａ、Ｂ２種類の食塩水がある。Ａ200gとＢ400ｇを混ぜ、水を100ｇ蒸発させると26％の食塩水になる。

という文章から、
まず、Ａ200gとＢ400ｇを混ぜているから、この時点で食塩水は600ｇあります。ここから水を100ｇ蒸発させるわけだから、食塩水は500gあることになります。この食塩水500gの濃度が26％だから、食塩水500gには食塩は130ｇあることになります。したがって、
　a　＋　2b　＝　130　　という式がたてれます。

また、Ａ400gとＢ200gを混ぜ、水を400ｇ加えると11％の食塩水になる。

から、食塩水11％は1000gあり、それに含まれてる食塩は110gだということが分かります。
したがって、
2a　＋　b　＝　110　という式がたてれます。　

a　＋　2b　＝　130　　
2a　＋　b　＝　110　
から　a=30 b=50　とすぐに答えが出ます。
Ａ200g　に含まれている食塩の重さをa(g),Ｂ200gに含まれている食塩の重さをb(g)としているから
Ａ100g、Ｂ１00gあたりの食塩の量の食塩の量を計算すれば、Ａ、Ｂの濃度が求められる。
a,bをそれぞれ２で割って　15 , 25.

A 15% B 25%

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2010/06/18 01:50

こんにちは。

さっきのと同じようなミスですね。

（１）と（２）は、どちらも
食塩の重さ　＋　食塩の重さ　＝　割合
になっています。
左辺が重さなら、右辺も重さでないといけません。
つまり、単位というか種類というか、それを両辺で統一しましょう。

しかし、この問題の場合は、
濃度　＝　濃度
という式を立てるとよいでしょう。

また、いちいち１００を使わないで、割合の値で式を立てたほうが良いです。

例によって、日本語を数学語に翻訳していきます。
Ａの濃度をａ、Ｂの濃度をｂ　と置きます。

「Ａ200gとＢ400ｇを混ぜ、水を100ｇ蒸発させると26％の食塩水になる。」
食塩の量／全体の量　＝　割合
（２００ａ　＋　４００ｂ）／（２００＋４００　　－　　１００）　＝　０．２６　　・・・（あ）

「また、Ａ400gとＢ200gを混ぜ、水を400ｇ加えると11％の食塩水になる。」
食塩の量／全体の量　＝　割合
（４００ａ　＋　２００ｂ）／（４００＋２００　　＋　　４００）　＝　０．１１　　・・・（い）

（あ）の計算を進めると、
（２００ａ　＋　４００ｂ）／５００　＝　０．２６
２００ａ　＋　４００ｂ　＝　０．２６×５００
２００ａ　＋　４００ｂ　＝　２６×５
２０ａ　＋　４０ｂ　＝　１３　　・・・（あ’）

（い）の計算を進めると
（４００ａ　＋　２００ｂ）／１０００　＝　０．１１
４００ａ　＋　２００ｂ　＝　０．１１　×　１０００
４００ａ　＋　２００ｂ　＝　１１×１０
４０ａ　＋　２０ｂ　＝　１１　　・・・（い’）

ｂの値は求めなくてもよいので、
・（あ）、（い）いずれか一方で、　ｂ　＝　ａの式　　を作って、もう片方に代入。
・加減法でｂを消す。
のどちらかで計算します。

代入法なら、
（あ’）より
ｂ　＝　（１３　－　２０ａ）／４０
なので、（い’）に代入して、
４０ａ　＋　２０（１３　－　２０ａ）／４０　＝　１１
４０ａ　＋　（１３　－　２０ａ）／２　＝　１１
８０ａ　＋　（１３　－　２０ａ）　＝　２２
６０ａ　＝　９
ａ　＝　９／６０
仕上げに　１００　をかけて
１００ａ　＝　９／６０　×　１００　＝　１５
１５％です。

次に加減法で。
２０ａ　＋　４０ｂ　＝　１３　　・・・（あ’）
４０ａ　＋　２０ｂ　＝　１１　　・・・（い’）
２×（い’）　－　（あ’）　より
６０ａ　＝　９
ａ　＝　９／６０
仕上げに
１００ａ　＝　９／６０　×　１００　＝　１５　（パーセント）

No.1 回答者： hika_chan_ 回答日時： 2010/06/17 22:55

200×x／100

これは塩の重さを出していますね。

100gの塩水で濃度が10%のとき、塩は何グラム入っているか？
この場合は
100×10/100＝10g
ですね。

つまり、
200×x／100＋400×y／100－100＝26／100－(1)の
200×x／100＋400×y／100－100(←ココ)＝26／100－(1)
水が100g蒸発していても塩が100g蒸発しているわけではないので

200×x／100＋400×y／100＝500×26／100－(1)
A+Bで600gで100gの水が蒸発すると500gとなり
500gの26%が塩の重さですね。

まぁ、つまり塩の重さが等しくなるように式を作りましょう！
ということですね。