アキレスと亀のパラドックスについて

アキレスと亀のパラドックスについて質問です。
このパラドックスを説明するのにほとんどが無限等比級数を使って、説明していますが理解に苦しんでいます。ゼノンは今回出る無限等比級数の和を本当はある値に収束するのにもかかわらず無限であると勘違いしたんですよね。しかし仮に今回の無限等比級数の和がある値に収束したわかってたとしても、それは無限の操作をし終えてやっと追いつくんではないんですか？でも実際に無限の操作をし終えるというのは数学上でも現実ではありえないことです。でも現実ではおいついている・・・。もう訳がわかりません。どんなサイトでも、最終的に得意の無限等比級数を登場させて、「はい、収束するでしょう、だから追いつくのです。」と説明していますが、理解に苦しみます。

実際には中学一年生の速さの問題で出るような程度の数学で追いつく時間や距離が求まることは知っていますが・・・。でも実際追いつこうとしているときはゼノンが言っているとおり、毎回亀の位置にアキレスは到達しているし・・・。つまり距離自体は有限だが勝手にゼノンが無限分割しているだけだというのもわかりますが、実際追いつこうとするときその無限分割した点を通ってるし・・。

誰かご教授してください！！

No.16 回答者： ellipt01 回答日時： 2012/08/24 20:13

時間がたってますがまだ締め切っていないようなので。

アキレスと亀の追いかけっこ、考えてみると無限に続きそうですね。ここで設問を勝手に変えて（汗）次の事を考えてみましょう

アキレスが数直線上を1秒間走り1m進みました。でもこの1m分の数直線内には無数の点があります。無数というか無限個です。無限個の点を、どうして有限の時間で通過する事が出来たのでしょう？
アキレスと亀のパラドクスにも似てますね。実際ゼノンの唱えたパラドクスに、これに近いものもあった気がします。無限個の点を通過する・・・考えると不思議ですが、でもこれはこう考えたら良いのではないでしょうか？

アキレスが駆けた1秒間は、途中で途切れる事なく続いていた。
そして1秒の間のどの瞬間でも、アキレスはどこかの点の上にいた。

これなら不思議を伴わず納得できるのではないでしょうか？時間をどこで切っても必ずそこに瞬間があります。無ければそこで時間が途切れていた事になります。そしてその瞬間に、アキレスはどこかの点の上にいました。時間は連続・稠密なので1秒間はどこでも、どこまでも区切る事が出来る。なので結果、アキレスがいた点(=通過した点)を数え上げたら無限になる。

亀との競争の話もこれと同じです。
アキレスが駆けだし追いつく。その瞬間の1秒前までに追いかけっこは何回あったでしょう？亀とアキレスの速度と距離にもよりますが（汗）答えは有限回で、追いつくまでの時間が10秒とかだったら指差しで数えていっても数えられるでしょう。0.1秒前までは？これも余裕そうですね。0.000・・・1秒前までは？指差しで数えたら宇宙が消滅した後になるかもしれませんが（汗）いつかは数え終えられるでしょう。
残りの無限回の追いかけっこは、アキレスが追いつく極々直前で続いていたようです。
追いつく直前、両者の距離はほぼ0だったでしょう。この段階では、亀のいた場所にアキレスが来るまで、つまり追いかけっこの一つが終わるのにかかる時間はほぼ0でしょう。なのでそれぞれの追いかけっこが終わる瞬間は、追いつく直前にはほぼ時間間隔0で(しかもその間隔はさらに短くなりながら)並ぶ事になるでしょう。ちなみに、有名な（悪名高い？）ε-δ論法で言うところの収束の定義は、こういう状態になっている事を指しています。
つまり、それぞれの追いかけっこが終わる瞬間は、アキレスが追いつく瞬間まで、最後は殆ど連続に（かつ十分稠密に）つながっている事になります。実際このレースの模様を数列で表せば、追いつく前のいかに僅かな時間区間で区切っても、その中に無数に追いかけっこが終わる瞬間が含まれる事が確かめられます。
直前のどこで区切ってもその中に瞬間がある。それなら、それらを数え上げれば無限になります。

追いつく前から追いついた状態までが、最後は殆ど連続につながっている。で、その事を別の角度から見たものが「追いかけっこが無限に続く」なのです。

無限級数の極値が限りなく近づく値を指すのか、実際無限回和を取ったとした値なのか知りませんが（汗）、極値を持つ無限級数が表す現実の問題は、どんどん近付き最後には追いつくアキレスと亀のような問題を多く扱っているのであり、ニュートンやライプニッツはそうした問題を取り扱うための体系づけられた技法を発明した、という事だと思います。

あと蛇足ですが、時間や空間に実数を当てはめ、無限に分割可能であるとする点。
これは現代人も（無意識に）イメージしているものだと思うのですが、ゼノンの唱えたパラドクスやそれにまつわる議論とは、こうしたモデルの妥当性を検討するのが元々の趣旨だったように記憶しています。

No.15 回答者： old_sho 回答日時： 2012/07/16 10:40

先の文を読み返してみると、考えることは出来るが、実際には出来ない。

という意味で書いているようにも受け止められますね。先の方（ta20000005さん）が書かれていることの焼き直しになりますが、実際に出来る、ということも追加しておきます。多くの例がある方が納得しやすいでしょうから。

　---正しくは、これも「考えることが出来る」であるのですが---

あなたも無限回の操作を有限時間内で簡単にできます。右手でも左手でも、人さし指を構えて、１０／９ｃｍを１０／９秒で動かしてください。そうするとあなたは、１ｃｍを１秒で、0.1ｃｍを0.1秒で、0.01ｃｍを0.01秒で、0.001ｃｍを0.001秒で、以下.....と、無限回の操作を、たった１秒少しの時間で出来たのです。
実際には2.8ｃｍを2.3秒だったとしても、適当な係数を掛ければ、上記と同じ無限回の操作をした、と言うことが出来る。無限回の操作だから出来ないと言うのは、思い込みに過ぎなかったのですね。

No.14 回答者： old_sho 回答日時： 2012/07/15 15:58

ほとんど追加することがないほど多面的な回答が寄せられていますね。

屋上屋を架すようなコメントですが。

疑問は、言わば「実数の不思議」というヤツですね。「理解に苦しみます」ということですが、良いことではないですか。簡単に分かった積もりになるより、よいのではないか。不思議なものは不思議ですよね。有限の時間内に無限の操作が出来る？おかしい！アリストテレスは、有限の時間のうちにも無限の時間点があるのだから構わんと回答しています。納得出来かねますよね、何等かの操作には時間の幅が必要なのだから、有限時間内に無限には入らないだろう？！ところが入ってしまうのですね。一つ一つを取れば幅のある時間なのに、無限に加えても有限時間に収まるということを「考えることが出来る」。
例えば、アキレスと亀を、人間が一手づつ手で動かすと考えよう。その時もし、１マイクロmの移動を、１ミリを動かす時の千分の１の時間で出来る、というように距離に応じて動かす時間もいくらでも短くできる、と仮定するならば、有限の時間内で、それを無限に行うことは出来る！その不思議さは、無限個の正数を加えたのにその和が無限にならない、と同じなのです。等比級数でも直観的に分かるのは、
1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 + ....
この級数は、無限個の加法を実行しなくとも、1.11111...すなわち10/9であることはすぐ分かりますね。人間が一手づつ手で動かすとき、２手目は１手目の1/10の時間で出来るなら、この級数の計算になります。無限回の操作を有限時間で出来る！

これはしかし、実数の不思議としたら序の口です。

No.13 回答者： alice_44 回答日時： 2012/07/02 13:36

数学基礎論の登場以来、何だか「パラドクス」というと

矛盾とか、数学の破綻とか、そういう大袈裟なものを
考えがちだけれど、もともと英語の「パラドクス」は、
「ちょっと奇妙な話」とか、その程度の意味を持ってる。
大きめの英英辞典で確認すると、そう書いてあるよ。

アキレスと亀のパラドクスも、別段、アキレスは亀に
追いつきかつ追いつけないから矛盾だ…と本気で考えてる
訳ではなくて、アキレスは亀に有限時間で追いつくけれど、
その間に「まだ追いついてない」状態を無限回観測できる
というのは、ちょっと奇妙な感じがするね…「無限回」て
何なんだろうね？　という問題提起なんだろうと思う。
そう考えると、ゼノンの他のパラドクスともテーマが合う。

だとすれば、Σ[k→∞](1/2)^k の値が有限だというのは、
パラドクスの解決どころか、パラドクスの出所そのもので、
だからこそ、これが「ちょっと奇妙な話」になる訳だ。

有限時間の間に無限回の観測が可能になるのは、観測に
要する時間を 0 と仮定しているからで、そうでなくては
有限時間には有限回の観測しかできない。
0×無限 の合計所要時間とは何なのか、0 でよいのか？
てのが、無限論の(あるいは積分論の)萌芽なのだと思える。

No.12 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/06/30 23:38

ものはついでで計算してみよう

話を簡単にするため
カメはとまってて，アキレスが動いてることにして
最初は距離1だけあいてることにしよう
それと「現実には存在する大きさ」を無視しましょう

で，時間をベースにしてみよう
1秒後アキレスが距離1/2のところにいる
2秒後アキレスが距離(1/2)+(1/2^2)のところにいる
3秒後アキレスが距離(1/2)+(1/2^2)+(1/2^3)のところにいる
・・・
n秒後アキレスが距離(1/2)+(1/2^2)+(1/2^3)+・・・+(1/2^n)=1-(1/2^n)のところにいる
・・・
だから，
いつまでたっても距離は1にならないので
アキレスはカメに追いつけない

・・・ちがいますね．アキレスは
カメに追いつかないために，近づく距離を小さくしているわけで
カメに近づけば近づくほどに速さを落としているのであって
追いつかないようにしてるのだから追いつかない

距離をベースにしてみましょうか？
話を複雑にしないためにすべて「平均の速さ」で考えましょう

アキレスが1/2のところにくるまでの時間を1/2とします
アキレスが(1/2)+(1/2^2)のところにくるまでの時間は1/2+(1/2^2)です
アキレスが(1/2)+(1/2^2)+(1/2^3)のところにくるまでの時間は(1/2)+(1/2^2)+(1/2^3)です
・・・
アキレスが(1/2)+(1/2^2)+(1/2^3)+・・・+(1/2^n)=1-(1/2^n)のところにくるまでの時間は
(1/2)+(1/2^2)+(1/2^3)+・・・+(1/2^n)=1-(1/2^n)です

アキレスはカメまでの距離が半分になる点を必ず通るのであり
そのときの時間は(1/2)+(1/2^2)+(1/2^3)+・・・+(1/2^n)=1-(1/2^n)である
これではいつまでたっても時間1にならないので追いつけない

・・・こういうこと？
いつまでたってもって・・・時間は1-(1/2^n)であって
これは1未満だから，いつまでもじゃないでしょう．
それにこれは「半分の位置」という到達する前までしか見てないのだから
時間は1秒たたないわけで，要は近づくにつれて時間を拡大というか
スローにしてるようなわけで，スローにしたらそりゃつかないですよね

No.11 回答者： nebikisi-ru 回答日時： 2012/06/30 22:07

順番が逆なのだと思います。

まず、アキレスは亀に追い付きます。そして、質問文の後半にある通り、追い付くまでの時間や距離も求められます。
で、今回の件では、その追い付くまでの時間や距離をわざわざ無限回に分割しています。
つまり、追い付かないのではなくて、その余計な操作が終わらない、というだけなのです。と思います。

別の言い方をすると。
アキレスは亀の現在位置を目標に走っています。しかし、走っている間に亀は移動します。
つまり、亀のいない場所を目標にしているということです。なので追い付くわけがない、ということになります。
ってNo.9さんとかぶっちゃった。
そうですね。アキレスは亀に追い付くまでは追い付かない、ということをややこしく言っているだけです。と思います。

No.10 回答者： ok1ok2ok3 回答日時： 2012/06/30 22:01

アキレスと亀の距離はどんどん近づいていきます。

しまいにアキレスは亀を右足で踏んづけてしまいました。それでも亀はアキレスよりもちょっと前に進みます。でもアキレスの右足は甲羅に乗ったままです。次の瞬間、アキレスは左足を踏み出し、ついに亀を追い越しました。紀元前1200年頃のことです。

No.9 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2012/06/30 21:13

パラドックスでも何でもありません。

ゼノンが言ってることは亀がある時点でいた場所に、アキレスが来たときには亀はその先にいると言うことで何の矛盾もありません。ようするに、追い越してない場所について着目（議論）しているだけですから、追い越せないのは当然なのです。逆にゼノンに問えば良いのです、「その着目はいつまで続くのだ？」

No.8 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/06/30 20:42

既に指摘されてるけど

無限回の操作に無限の時間がかかるとは限らない

ってのがポイントかな．
あとは，現実現実とこだわるのであれば
現実のものには「大きさ」があるというのも考慮すべきことか

=============
>でも実際に無限の操作をし終えるというのは数学上でも現実ではありえないことです。

数学ではきっちり「無限の操作」を規定しています．
20世紀の最初のころに大騒ぎになって
うまーく無限を隠蔽するように細工してますが，
きっちり無限を扱ってます．

前回の同じ質問では
ゲーデルに関する誤解だらけの議論に誘導されましたけど
今回はきちんとした話になってますね．

No.7 回答者： noname#171582 回答日時： 2012/06/30 19:52

時間軸を横にとり、移動距離を縦軸にとると

アキレスと亀の交点ができます。

その点がアキレスが亀に追いつく時間、ならびに
地点になります。

それらの交点は無限数列の極限値として求まりますが
ゼノンは無限数列のままで、極限値の操作をしません。

ゼノンのパラドックスは、極限値の操作をしないので
交点が求まりません。すなわちアキレスは亀に追いつけません。
これがパラドックスの正体です。