確率論 独立性の同値問題です。

・事象A、Bが独立⇔指示関数１A、１Bが独立
このとき指示関数は
１A(ω)=１(ω∈A)、０(ω∈Aでない)
とする。

この問題が分からず困っています。
任意のa、b∈{０，１}に対して、P(１A=a、１B=b)＝P(１A=a)P(１B=b)…(★)
が成立すればいいはずなのですが、解き方は
①a=b=０のとき　②a=０、b=１のとき…
と場合分けして(★)が成り立つのを示すのしかないのでしょうか？
そうすると事象A、Bが独立という仮定を使わない気がします。
どなたか解き方と解答をよろしくお願いします。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/08/01 14:31

とりあえず「事象が独立」とか「指示関数が独立」とかの定義を書いてみたらどうだろうか.

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/08/01 13:44

P(AかつB)=P(A)×PA(B)=P(B)×PB(A)

AとBは独立、ということは
PA(B)=P(B)
PB(A)=P(A)
#事象の確率が条件の有無に係らず同じ

を使うと

P(AかつB)=P(A)×P(B)

>そうすると事象A、Bが独立という仮定を使わない気がします

どうやったらそんなことができるのか想像出来ないです。
やってみて下さい。