大学の線形代数です

大学の数学です。
一、Aをn x nの行列(nは2以上の整数)とする。λi , xi (1≦i≦n)がAの固有値,固有ベクトルであり,λiは全て異なる0以外の数,xiのノルムは1とする。

1)A,λi,xiの間に成り立つ式を書け。
A xi=λi xi (正しいですか？)
2)Aを,λi,xiを用いて表せ。
あまり意味わかりません。

以下の問では、さらにAが対称行列の固有ベクトルは、互いに直交する。

3)xiを並べた行列X=[xi⋯xn]に対し,XTXを求めよ。XTはXの転置行列

4)Xの逆行列を求めよ

5)n=3,x1=[√3/2,0,1/2] x2=[0,-1,0]とする x3を求めよ。
x1Xx2=± x3(外積で求められますか？)

6)さらに,λ1=3,λ2=2,λ3=3とする。
この時,Aを求めよ

以上お願い致します

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/10/15 02:37

どれも教科書にそのまま載っているものばかりなので、

教科書を見ましょう。わざわざここで質問する意味ないです。

私もここで答えるとしたら教科書を写すだけですね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
外国人で大学生ではありませんので、教科書を持ってないです。
2)と3)だけおしえていただけませんか？
3)がわかれば、4)多分大丈夫です。
すみません。お願いいたします。

お礼日時：2016/10/15 12:15

No.2 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/10/15 13:40

んー、では対角化くらいまではわかっているという前提で。

それからXの転置は X^T と、Xの逆行列は X^(-1) と書くことにします。

2) 教科書で D(対角要素が λiの対角化行列) = X^(-1)AX と習うはず。
なので XDX^(-1)＝A

3) xi・xi=1, xi・xj=0 （i≠j) としたのだから、単純計算すれば
X^T X =E(単位行列)

4) 3) と逆行列の定義から X^(-1)=X^T

これでわかりますかね？

いずれも教科書に載っていますから、日本語がわかるのであれば教科書を読みましょう。
別にどの国の教科書でも構わないですが、線形代数はずらずら定理を導いては
次の段階に進む学問なので、教科書が手元にないと駄目です。次元定理あたりまでは
教科書とにらめっこが大原則。