p＝1－√2＋√3，q＝1－√2－√3がある。 (1)pqの値を求めよ。 (2)p二乗＋q二乗，p三

p＝1－√2＋√3，q＝1－√2－√3がある。

(1)pqの値を求めよ。
(2)p二乗＋q二乗，p三乗－q三乗の値をそれぞれ求めよ。
(3)p五乗－q五乗の値を求めよ。

(2)と(3)を教えて下さいお願いします…

高1です

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2018/04/10 12:03

x = 1 - √2

y = √3
とおけば
p = x + y
q = x - y
なので

pq = (x+y)(x-y) = x^2 - y^2

p^2 + q^2 = (x+y)^2 + (x-y)^2
ここで
(x±y)^2= x^2 ± 2xy + y^2
を使う。

p^3 - q^3 = (x+y)^3 - (x-y)^3
ここで
(x±y)^3= x^3 ± 3(x^2)y + 3x(y^2) ± y^3
を使う。

p^5 - q^5 = (x+y)^5 - (x-y)^5
ここで
(x±y)^5 = x^5 ± 5(x^4)y + 10(x^3)(y^2) ± 10(x^2)(y^3) + 5x(y^4) ± y^5
を使う。

あとはできるよね。最後のギリギリまで数値を代入しないのが吉。

No.2 回答者： tkarat 回答日時： 2018/04/07 17:48

(2)についてですが、たとえば1-√2をひとつのかたまりとして2つの項の2乗の公式、3乗の公式にぶちこみます。

そして求めたやつをそれぞれ題意に代入します。

(3)については(2)で求めたやつを使ってp2乗×p3乗=p5乗、q2乗×q3乗=q5乗をしてそれぞれを題意に代入するだけです。
この問題はよく見る典型問題なのでしっかり習得しておきたいですね！頑張ってください！

この回答へのお礼

そうなんですね！
ありがとうございます！

お礼日時：2018/04/07 18:23

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/04/07 17:30

pq=(1－√2)²ｰ√3²=-2√2

p²+2pq+q²=(P+q)²より
p²+q²=(P+q)²-2pq=(2-2√2)²-2(-2√2)=12-4√2

p³-q³=(p-q)(p²+pq+q²)
=(p-q)(p²+q²+pq)
=2√3{(12-4√2)+(-2√2)}
=2√3(12-6√2)
=24√3-12√6

p⁵-q⁵=(p³-q³)(p²+q²)-p³q²+p²q³
=(p³-q³)(p²+q²)+p²q²(q-p)
=(p³-q³)(p²+q²)+(pq)²(q-p)
=(24√3-12√6)(12-4√2)+(-2√2)²(-2√3)
=2√3(12-4√2)(12-4√2)-16√3
=2√3{12²-96√2+(-4√2)²}-16√3
=2√3(176-96√2)-16√3
=352√3-192√6-16√3
=336√3-192√6

ミスが無ければこうなると思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2018/04/07 17:39