中学の問題の解き方がわかりません！ 2桁の自然数aと3桁の自然数bについて、 a : b =3 :

中学の問題の解き方がわかりません！


2桁の自然数aと3桁の自然数bについて、
a : b =3 : 4であり、√a+b の値が自然数となるとき、
a,bの値を求めなさい。


という問題です。
答えはa=84 b=112
になります。
何故この答えになるのか教えていただけたら幸いです。

No.5 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/08/04 15:19

＃１です

よく考えてみれば　ｍ、ｎを使う必要はないですね

a : b =3 : 4⇔b=(4/3)a
これを代入すると
a+b=a+(4/3)a=(7/3)a
したがって√a+b =√(7a/3)
これが自然数となるためには(7/3)aが3の倍数でかつ７の倍数であればよいから
(7/3)aは21の倍数である
ゆえにaの候補は
21,42,63,84
このうちｂが3桁となるのはa=84だけ
以上から、a=84
b=(4/3)a=84x(4/3)=112

この回答へのお礼

さらに分かりやすくなっている…！？
ありがとうございます！！

お礼日時：2019/08/05 09:27

No.6 回答者： konjii 回答日時： 2019/08/04 15:55

a : b =3 : 4の内積＝外積からa=3b/4,√(3b/4＋ｂ)=√(7b/4)=自然数

7b/4=自然数²
ｂ＝((2自然数）²)/7＝3桁の自然数から、(2自然数）²＞７００かつ７の倍数かつ偶数
((2自然数）²)＝７（１００＋２ｎ）
等式はｎ＝６で最初に成り立つ。ｂ＝１１２この時a=84
次はｎ＝１２６でｂ＝３５２この時a=２６４で３桁でダメ
従って、条件を満たすのは
a=84、ｂ＝１１２

この回答へのお礼

時短ですね！
ありがとうございます！

お礼日時：2019/08/05 09:28

No.4 回答者： ほい3 回答日時： 2019/08/04 15:19

a : b =3 : 4から2桁のａの時、ｂは、４a/３で表せる。

a+b＝a+４a/３=7a/3になりこれが自然数の2乗なので
同じ素因数を2個づつもたせる必要があり、
解の形は７ｘ７a／（３ｘ３）で、aにこれを吸収させると
a=３/７、ｂ＝４／７　、自然数に上げるため４９倍、
a=２１、ｂ＝２８、Bが３桁行かないのでともに４倍
a=84,b=112、９倍だとaが3桁で189、ｂは252で、
aが条件に合わない。
答えはa=84 b=112

どうでしょうか？

この回答へのお礼

わかりやすい説明です！
ありがとうございます！

お礼日時：2019/08/05 09:26

No.3 回答者： 銀鱗 回答日時： 2019/08/04 14:46

(´・ω・`)？

まさか
　√(a+b)
と言いたかったのかな。

この回答へのお礼

そうです…
問題を正しく書いていませんでした。
申し訳ございません。
m(._.)m

お礼日時：2019/08/04 14:59

No.2 回答者： 銀鱗 回答日時： 2019/08/04 14:25

設問が激しく省略され過ぎじゃないのかな。

しかも答えが間違っている。

とりあえず、桁数を考えずに解いてみよう。
最も小さい数字の組み合わせがいくつになるかを考えてみよう。

「√a」の値が自然数になれば良いので、ａの値は、
　1、4、9、16、25
のような値になることが分かる。
次に「３：４」になるときのｂの値を考える。
当然「9」に対する値を求めれば良いことは分かると思う。するとｂは「12」になる。
ここで、なぜ「９」を選んだのかを考えてください。

で、あとはａが2桁、ｂが3桁になるケースを考えるだけ。
がんばれ。
ちなみに正答は81と108。

この回答へのお礼

すみません…僕の説明が不足していました。申し訳ございませんm(_ _)m
√(a+b)と言いたかったです。
本当にすみません。

お礼日時：2019/08/04 14:56

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/08/04 14:24

a : b =3 : 4の意味はa/b=3/4と言う意味でもあります

従ってb=(4/3)a
ここで、aの十の位をｍ、一の位をｎとすると(m,nは1桁の自然数）
a=10m+nとかける
これを代入すると
a+b=a+(4/3)a=(7/3)a＝(7/3)(10m+n)
従って√a+b =√(7/3)(10m+n)
これが自然数となるためには10m+nが3の倍数でかつ７の倍数であればよいから
10m+nは21の倍数である
ゆえにm,nの候補は
(m,n)=(2,1),(4,2),(6,3),(8,4)
このうちｂ=(4/3)(10m+n)が3桁となるのはm=8,n=4だけ
以上から、a=10m+n=10x8+4=84
b=(4/3)a=84x(4/3)=112

この回答へのお礼

わかりやすい解き方です！
ありがとうございます( ´∀｀)

お礼日時：2019/08/04 15:01