maximaで解いた3次方程式の解

フリーの数式処理ソフトmaximaで3次方程式を解いたのですが、3つの虚数解が出てきました。一般に3次方程式の解の1つは実数解になると思うのですが、出てきた3つの解にはどれも虚数単位%iがついているのでそのように判断できます。
解いた方程式は
9*x^3+12*%pi^2*x^2-224*%pi^4*x-544*%pi^6＝0
です。
詳しい方、何が原因でどのように対処すればよいのかご教示願います。

質問者からの補足コメント

• han-ka-2様
  お忙しいところご協力ありがとうございます。
  関係ないと思いますが、この直前に2次と1次の係数だけが異なる別の方程式
  9*x^3-24*%pi^2*x^2-320*%pi^4*x-544*%pi^6＝0
  を解いた時には、（実数解が出たという意味で）正しく2虚数解と1実数解が得られたのですが、その後係数の誤りに気付き今回の式にして解いたところおかしな結果になってしまいました。
  気になったのでファイルを新規作成し今回の方程式を解かせてはみたのですが、同じ結果でダメでした。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/02/14 09:25

• stomachman様
  早速のご回答ありがとうございます。
  「式を整理すると」とのことですが、maximaでの実行でしょうか？
  当方も引き続きmaxima内で当該の解だけ取り出し「式の整理」コマンドをおこなったのですが、残念ながら%iが消えません。
  この先maxima内で実数表示にする方法をご教示いただければ幸いです。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/02/14 10:10

• Tacosan様
  早速のご回答ありがとうございます。
  ご教示のallrootsを実行すると今度は３つの実数解（数値解）が出てきました。
  解析解を求めたいのですが無理でしょうか。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/02/15 18:04

• Tacosan様
  早速のご回答ありがとうございます。
  「解析解」の意味が正しくないのであれば言い換えます。
  allrootsの結果は数値で出力されていますが、これを冪乗等を使った表現で欲しいというのが趣旨です。本3次方程式はこれからやりたい計算の一部にすぎず、この後その値を使ってまだ計算することがあるためです。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/02/15 23:48

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2020/02/18 11:17

No.2です。

　極形式を使えば%iは消える代わりに、当然ながら三角関数と逆三角関数が出てくる。（これがおっしゃるところの「冪乗等を使った表現」に該当するかどうかは知らん。）実際、Wolfarmのサイトを使うと
　　9*y^3+12*y^2-224*y-544 = 0
の解は
　　y = 8/9 sqrt(43) cos((1/3) Atan((9 sqrt(191))/1121)) - 4/9
　　y = -4/9 - (4/3) sqrt(43/3) sin((1/3) Atan(9 sqrt(191)/1121)) - (4/9) sqrt(43) cos((1/3) Atan(9 sqrt(191)/1121))
　　y = -4/819 + (4/273) sqrt(43/3) sin((1/3) Atan(9 sqrt(191)/1121)) - (4/819) sqrt(43) cos((1/3) Atan(9 sqrt(191)/1121))
と出る（要確認）。

この回答へのお礼

stomachman様
早速のご回答ありがとうございます。
結局これら３つとも実数解になるのですね。%iが残っていてとてもそのようには見えなかったのですが。
三角関数等を使った解法・表現があるのは目からうろこです。

お礼日時：2020/02/20 23:30

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/02/16 01:45

単純に「冪乗等を使った表現」といってしまうと, 最初の形で既にそうなってますよね? その先どのような計算をしていくのかは知りませんが, 解を記号的に扱うくらいしか方法はないんじゃないかな, と思います.

いちおう補足しておくと, 3次方程式を公式で解くとこのように
複素数の 3乗根
が必要なことがあって, その場合一般にはどうしようもありません. もちろん常にどうしようもないというわけではなく
(2+11√-1)^(1/3) = 2+√-1
のように 3乗根がきれいに外れることもありますが, それはむしろ例外です.

この回答へのお礼

Tacosan様
早速のご回答ありがとうございます。
’解を記号的に扱う’のはやぶさかではありませんが、この方程式の解が3実解であることを知った上では、どうにか%iを消した式で表現したいと考えていました。

お礼日時：2020/02/20 23:28

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/02/15 23:15

あなたのいう「解析解」とはなんでしょうか?

solve で出てきたものは「解析解」ではない?

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/02/14 23:47

調べた.

#2 のように変数変換しないとダメだけど allroots ってのがある.

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2020/02/14 09:39

y=x*%pi^2

と変数変換すると
　　9*y^3+12*y^2-224*y-544 = 0
という方程式。実数解が3個あります。数値計算すると、解は
y∈{-3.542783…, -3.170987…, 5.38043…}
カルダノの公式を使うと、実数解を表す式の中に虚数が出てきちゃうんです。でも、式を整理すると虚数成分が0になる。
というわけで、ご質問の場合にも%iが消えるはず。

No.1 回答者： han-ka-2 回答日時： 2020/02/14 09:13

解の中に，大文字のUの上にドットがついたのがありますが？あれなに？と思いながらplot2dしたら -30 あたりが重根で，50 くらいに実根がありますね。

さて？？？？？