距離空間、関数の一様収束性

ｆ、ｇ:領域Ω（⊂ℂ）→距離空間Ｓとする。 また、Ｅｋ＝｛ｚ∈Ω;❘ｚ❘≦ｋかつｚとΩの境界∂Ωの距離d(z,∂Ω）≧1/k}とし、これは閉集合である。 画像のようにδ、δｋという関数空間の距離を定義する。ｆｎをΩ上定義された関数列とする。 ｋを固定する。十分大きなｎをとれば、δｋ（fn,f)<2^kεとなるとき、 「距離δｋに関してＥｋ上でｆｎはｆに一様収束する。ゆえに、距離ｄに関してもＥｋ上でｆｎはｆに一様収束する。」とあるのですが、 ①×距離δｋに関して→〇距離δに関してではないかと思うのですが、どうでしょうか？ ②ｄにかんしてもｆｎがｆに一様収束するのがピンときません。 ｚ∈Ｅｋに関して、各ｚに対して、δ（ｆ（ｚ）,g(z))≦ｄ（ｆ（ｚ）,g(z))であるから、成り立ちそうにない、むしろ「ｄに関して一様収束⇒δに関しても一様収束する」が成り立つのではないかと思っています。

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2020/12/20 18:05

> ①×距離δｋに関して→〇距離δに関してではないか

　いやそれは変だな。なぜなら、δ(a,b)はSの２点a,bの「距離」なんですから、（fn(z)とf(z)の「距離」ならともかく）fnとfの「距離」を測ることはできない。一様収束の話ですから

> 十分大きなｎをとれば、δｋ（fn,f)<2^kεとなる

というのは
　　∀ε(ε>0 ⇒ ∃N∀n(n>N ⇒ δｋ(fn,f)<2^kε))
すなわち
　　∀ε(ε>0 ⇒ ∃N∀n∀z((n>N ∧ z∈Ek) ⇒ δ(fn(z),f(z))≦δｋ(fn,f)<2^kε))
ってことでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2020/12/20 19:11