負の二項分布の期待値の証明についてご教示ください。

いつもお世話になります。

表題の通りなのですが、負の二項分布の期待値について、自分で計算した結果が、テキストやWebに載っている正しい結果とどうしても一致しません。
自分の計算過程のどこが誤っているのか、有識者のかた、ご指摘いただけませんでしょうか。
負の二項分布の定義と計算過程については添付の画像をご覧ください。
（ご指摘しやすいように、計算過程に①～⑦まで数字を振りました。宜しければお使いください。）
なお、テキスト等によりますと、正しい結果はμ=k(1-p)/pとなると思います。

どうぞよろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/02/26 14:38

「(k+x) 回試行して、k 回成功する」

(k+x) 回目には成功するので、
「(k + x - 1)回試行して、(k - 1) 回成功している状態で、(k+x) 回目に成功する」
ということになる。

つまり「(k + x - 1)回試行して、(k - 1) 回成功している状態で、(k+x) 回目に成功する」確率は
　P(k+x-1, k-1) = (k+x-1)C(k-1) * p^(k-1) * (1 - p)^[k+x-1 - (k-1)]
　　　　　　= (k+x-1)C(k-1) * p^(k-1) * (1 - p)^x
次に確率 p で勝つのだから、その確率は
　p * P(k+x-1, k-1) = (k+x-1)C(k-1) * p^k) * (1 - p)^x

ここまではよいと思います。

そこから先で、④から⑤に変形するところで、分子は
　(k' + x' + 1)(k' + x')(k' + x' - 1)・・・
になりませんか？

ということで、⑥に変形するときに
(k' + x' + 1)(k' + x')
は Σ の外に出さなといけませんね。


おそらく、期待値の求め方は、
(k + x - 1)回試行したときの成功回数の期待値は
　E' = (k + x - 1)p
次は成功でなければならないので、成功回数の期待値は
　E = E' + p = (k + x)p

従って、失敗回数の期待値は
　μ = (k + x) - E
　　= (k + x) - (k + x)p
　　= (k + x)(1 - p)

x → ∞ にしたとき、k/(k + x) → p であり、つまり
　k + x → k/p
なので
　μ → k(1 - p)/p
でしょうか。

この回答へのお礼

なるほど！！確かに！！
ご指摘の通り、④から⑤への式変形が間違っていました。
鋭いご指摘、誠にありがとうございました。
おかげさまで次に進むことができます。
ありがとうございました！

お礼日時：2022/02/26 16:20

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/02/26 04:05

そもそもの方針についてだけど....

一般の k の場合は k=1 の値を k倍するだけだから,
k=1 に対してだけ (がんばって) 証明
じゃダメ?

この回答へのお礼

前回に引き続き、ご回答誠にありがとうございます。
すみません、統計学だけでなく、数学（基礎解析）の復習もかねて勉強しようと思っておりまして、自分の計算過程のどこに誤りがあるのかを特定したいと思っております。
k=1の場合でも検討してみます。
ありがとうございました。

お礼日時：2022/02/26 12:16