１＋１ とは？ 数とは何か？

若い頃、数学の教師に１＋１は何故２なのか、と質問をしたことがあります。
そのときの答えは、「何でもいいんだよ」の一言でしたが何となく納得していました。
でも、１＋１が２であることは集合論から導き出された結果だと思うのですが、人間がこの１として認識する判断基準はどこからきているのか、考えているうちに判らなくなりました。
何故人は、異なるものを数として認識するのでしょうか。
何故、異なるものの足し算が出来るのでしょうか？

異なるものとは、
男１＋女１＝2人　　大人＋子供＝2人　花のコップ＋お皿＝２つ
たぬき１＋きりん１＝2匹　などです

No.4 回答者： dyadics13 回答日時： 2001/09/10 15:25

"1"というのは端的に言えば「単位」です。

つまり基準となる量を意味する概念です。
ですから、厳密に量として１である必要はないのです。

200mlの水が入ったコップ１杯あったとすると、
"ml"という単位では200でも「杯」とみなしたら１になりますよね。

また、何をその「基準」にするかは主観によるでしょう。
具体適例はこれまで回答された方々の通りです。

人類という「基準」ならば、大人１人と子供１人は
それぞれ１ずつですから、合計２になりますが、
成人という「基準」からすると子供１人は対象外になり
足し合わせることができなくなります。

目的に合った「基準」による「単位」を作り、
その範疇で（整数の）四則演算を行うわけです。

このような考え方だと、テーブルの上の紙１枚と
水１リットル入り容器もそれぞれ「１」とみなせますよね。

この回答へのお礼

回答していただきありがとう御座います。
基準をどこに置くかによって決定される訳ですね。観点をどこに置くかが計算の基準となるということで考えればよいのでしょうか。

お礼日時：2001/09/10 16:08

No.3 回答者： cse_ri 回答日時： 2001/09/10 15:16

１＋１がなぜ２になるかの回答ですが、１０進法で数えているから

というのが私なりの結論です。

１０進法の世界では、
　１に１を加えると２になる
　２に１を加えると３になる
　３に１を加えると４になる
　....
　９に１を加えると桁上がりして１０になる
という考え方をします。


では１＋１が２にならないことはあるかと言えば、実はあります。
ブール代数(２進数)の世界では１＋１は２にならず、１０になります。

ブール代数では、
　０＋０　＝　０
　０＋１　＝　１
　１＋１　＝　１０
という感じですね。


元々、数学というのは観念の世界です。「これが１だ」という観念を定義した
ところから、数学的な思考が始まります。
何を１として認識するかの基準は、もはや数学を超え、哲学の分野になってしまう
のではないかと、私は考えています。

この回答へのお礼

回答いただきありがとう御座います。
＞何を１として認識するかの基準は、もはや数学を超え、哲学の分野になってしまうのではないかと、私は考えています。
まさにそうなのです。そこのところを考えているうちに、訳がわからなくなってしまって。単純ゆえに難しいということなのでしょうか。

お礼日時：2001/09/10 16:03

No.2 回答者： 134 回答日時： 2001/09/10 14:31

１＋１＝２　は　なぜそうなるのか・・・そう定義したから　でしょうね。

山という字が目の前にそびえる大きい地形を意味するのと　同じだと思います。

　異なるもの…
　たとえば、猟をしていて、獲物が５体とれたとします。あくまで目的は食料とするわけですから、内訳がなんだろうと構わないわけなんじゃないですかね。
　でも、動物園みたいにきちんと管理しているところだと、内訳は狸２匹に、狐３匹というように、内訳の方が重要になる。

　映画だと料金体系から性別はあまり重要でなく、子供・大人ごと何人。でも、合コンなどでは、男女何人ずつ。

　要するに使用する目的により、使い分けしている…ということだと思いますが。

この回答へのお礼

回答いただきありがとう御座います。
＞そう定義したから　
難しいお答えですね。このことについて少し考えてみます。
得たい結果を導き出すための設問と言う事なのでしょうか。

お礼日時：2001/09/10 14:46

No.1 回答者： a-kuma 回答日時： 2001/09/10 14:22

数学面からの回答ではないですが、

> 何故、異なるものの足し算が出来るのでしょうか？

それは、異なるものである、とは思っていないから、ではないでしょうか。

ものの見方には、共通化・汎用化という面があります。

男・女 → 大人
大人・子供 → 人間
花のコップ・お皿 → 容器
たぬき・きりん → 哺乳類

場面によって、どこまで汎用化するかが変わってきます。さすがに同じ１でも
紙１(枚)＋水１(リットル）＝２ とは思わないですよね。

同じものであれば、二つを足すことに関しては、疑問が無いのですよね？

この回答へのお礼

回答していただきありがとう御座います。
物の見方によって導き出す、集合という概念が共通化・汎用化に結びついているという意見には賛同できます。
＞さすがに同じ１でも
＞紙１(枚)＋水１(リットル）＝２ とは思わないですよね。
そうでしょうか？　もし「机の上に」との説明がつけば、机上にある物としての括りになるわけですから、その場合は２になります。
ごめんなさい屁理屈みたいで、でも私が知りたいのはそこのところなのです。

お礼日時：2001/09/10 14:33