一橋大学過去問 整数 素数 かなりの難問だと思います

(1)p,2p+1,4p+1がいずれも素数となるpを全て求めよ。
(2)q,2q+1,4q-1,6q-1,8q+1がいずれも素数となるqを全て求めよ。

次の答案は正しいですか？

(1)以下の法は全て3とする(合同式はmod3です)
p≡1のとき2p+1≡0よりp≡1ならば2p+1=3→p=1は不適
p≡2のとき4p+1≡0よりp≡2ならば4p+1=3→p=1/2は不適
p≡0のときp=3
これは2p+1=7,4p+1=13より条件を満たす。
これらより求めるpは3

何卒宜しくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• 

  不完全な議論展開です
  
  以下答案です
  
  
  https://imgur.com/a/y9rXojE

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/03/23 22:06

• 

  No.1,2,3
  
  全て議論が欠陥しています。

    補足日時：2024/03/23 22:10

• 私の答案から貴方の議論の欠落に気付く事を願います

  
    補足日時：2024/03/23 22:44

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/24 04:18

q=2 のとき

2q+1=5 は素数です合成数ではありません

この回答へのお礼

ご指摘の通りです。

お粗末でした

お礼日時：2024/03/24 06:20

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/23 21:58

p=1(mod 3)と仮定すると

2p+1=0(mod 3)
2p+1は3の倍数素数だから
2p+1=3
2p=2
p=1
となってpが素数であることに矛盾するから
p≠1(mod 3)

p=2(mod 3)と仮定すると
4p+1=0(mod 3)
4p+1は3の倍数素数だから
4p+1=3
4p=2
p=1/2
pが整数であることに矛盾するから
p≠2(mod 3)

p=0(mod 3)
pは3の倍数素数だから
p=3
2p+1=7 も素数
4p+1=13 も素数だから
∴
p=3

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/23 20:53

q=1(mod 5)と仮定すると

6q-1=0(mod 5)
6q-1は5の倍数素数だから
6q-1=5
6q=6
q=1
となってqが素数であることに矛盾するから
q≠1(mod 5)

q=3(mod 5)と仮定すると
8q+1=0(mod 5)
8q+1は5の倍数素数だから
8q+1=5
8q=4
q=1/2
となってqが素数であることに矛盾するから
q≠3(mod 5)

q=4(mod 5)と仮定すると
4q-1=0(mod 5)
4q-1は5の倍数素数だから
4q-1=5
4q=6
q=3/2
となってqが素数であることに矛盾するから
q≠4(mod 5)

q=0(mod 5)のとき
q=5
2q+1=11
4q-1=19
6q-1=29
8q+1=41

q=2(mod 5)のとき
2q+1=0(mod 5)
2q+1=5
2q=4
q=2
4q-1=7
6q-1=11
8q+1=17

∴
q=2 または q=5

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/23 20:18

p≡1のとき2p+1≡0よりp≡1ならば2p+1=3→p=1は不適

は
p≡1のとき2p+1≡0より2p+1=3→p=1は不適
と
すべき

p≡2のとき4p+1≡0よりp≡2ならば4p+1=3→p=1/2は不適
は
p≡2のとき4p+1≡0より4p+1=3→p=1/2は不適
と
すべき

この回答へのお礼

mtrajcpさん

こんばんは

此れは私の答案ではありません

mtrajcpさんは、この問題どの様にお考えですか？

何卒宜しくお願い致します。

お礼日時：2024/03/23 20:57