1つのサイコロを4回振って出た目のうち最大なものが4になる確率を求めよ のような問題の時に 1回

1つのサイコロを4回振って出た目のうち最大なものが4になる確率を求めよ

のような問題の時に

1回は4、3回は1〜4が出ればいいから
求める確率は1×4³/6⁴=8/176

というように考えてしまうのですが、何が間違っているか教えて欲しいです。
解答を見ると不正解なので間違っているとは分かりつつ、なにが間違ってるかよく理解してないので同じような間違いをしてしまいます。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2024/04/30 23:01

＞1回は4、3回は1〜4が出ればいいから

それと
「1回目は4、2～4回目は1〜4が出ればいい」　　　①
とは何が違うかな？

求めるものは①だけではなくて、
「2回目が4、1回目と3～4回目は1〜4が出ればいい」
「3回目が4、1～2回目と4回目は1〜4が出ればいい」
「4回目が4、1～3回目は1〜4が出ればいい」
でもいいよね？

でもそれだと
「4が2回出る」
「4が3回出る」
「すべて4が出る」
のはダブってカウントすることになるよね。

そういう「起こり得ること」をちゃんと想像できないといけません。
「公式を使って計算する」のではなくて、「起こることを数える」のです。

No.10 回答者： AっKI 回答日時： 2024/05/06 13:04

あなたの間違いは2つあって

・具体的に何回目に4が出るのかが考慮されていないこと
4が1回出るとして
それが1回目なのか、2回目なのか、3回目なのか、4回目なのか
が考えられていないということ。
計算式の分母の6^4は
1111,1112,・・・・・・,6665,6666という，
4回の出目を並べた場合の数なのだから
例えば4が1回、1が3回出る場合について
4111,1411,1141,1114という4通りを考える必要があるはずだが
あなたの解答ではこのうちの1つしか数えられていない。
4が出る回数にとどめず、具体的に何回目に何が出るまでを
考慮しなければならない（分母がそうなっているのだから
分子の計算もそれに合わせないと正しくならない）

・4が複数回出る場合をまとめて考えてしまっていること
1回4，残り3回が1,2,3,4という数え方をしてしまうと
上のように、具体的に何回目に4が出るかまで考慮した場合に
不具合が生じる。
例えば1回目に4，2回目以降は2,3,4と出たとする。
これは数字を書き並べて表すと4234となる。
次に4回目に4、3回目までは4,2,3と出たとする。
これを数字を書き並べて表すとやはり4234となる。
つまり、ダブって数えてしまうことになる。
ではこのダブりを除けばよいと考えると思うだろうが
4が2回出る場合は今のように2度ずつダブるが
4が3回出る場合を考えると
1回目に4,2回目以降2,4,4
3回目に4,1,2,4回目が4,2,4
4回目に4,3回目までが4,2,4
これらが4244となって同じ、つまり3度ずつダブる。
全部4になる4444は4度数えることになる。
つまり、4がいくつあるかでダブる度合いが異なるので面倒。
同じものについては何回出るのかで場合分けするのが大原則。
それを破るとこのような間違いにつながる。

No.9 回答者： sc348253 回答日時： 2024/05/01 20:16

簡単に　余事象の考えで解けば

4回とも4以下は　4^4=16^16=256
4回とも3以下は　3^4=81
よって　求める確率は　(4^4 - 3^4)/6^4=(256-81)/6^4=175/6^4

ピボットテーブルによる表形式の集合で考えてみましょう！

または　難しく考えれば
4回とも3以下は　3^4=81
1回が5,6の場合は 4C1 * 2^1 * 4^3=4*2*64=512
2回が5,6の場合は　4C2 * 2^2 * 4^2=6*4*16=384
3回が5,6の場合は　4C3 * 2^3 * 4^1=4*8*4=128
4回全てが5,6の場合は　4C4 * 2^4 * 4^0=16
よって 1 -　{3^4 + Σ【k=1～4】4C k * 2^k * 4^(4-k)} / 6^4
=　１‐　(81+512+384+128+16)/6^4=(6^4 - 1121 )/6^4
=(1296 - 1121)/6^4=175/6^4
貴方の場合では場合が抜けていたり重複があったりで　確率的な発想が
できていないことが問題です　だから　確率の回答例の理解において確率的な発想をマスターしましょう！

No.8 回答者： e12mv2 回答日時： 2024/05/01 20:02

＞1回は4

１回も４の目が出ない可能性もある。
１回目も２回目も３回目も４回目も、出る可能性のあるサイコロの目は「１」「２」「３」「４」の４種類があるからである。

４の目が出る可能性は、
１回目が２５％、
２回目が２５％、
３回目が２５％、
４回目が２５％
である。
４の目が１００％出現する回はない。

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/05/01 14:26

別解

○が1~4、△が1~3を現すとして
4○○○=1×4^3 通り
△4○〇=3×4^2 通り
△△4〇=3^2×4 通り
△△△4=3^3 通り

64+48+36+27=175

よって 175/6^4

No.6 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/05/01 11:50

1/4×4³/6³

は、
一回目が4
2回目が1〜4のいづれか
3回目が1〜4のいづれか
4回目が1〜4のいづれか
となる確率ですね
これだと、1回目に1や2や3になるケースが抜けています！
(他にも問題点が出てきますが)この点が誤りの最大要因です

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/01 11:48

＞ 何が間違っているか教えて欲しいです。

あなたの計算は (1/6)(4/6)³ なんだろうけど、それでは
最大の目 4 が 1 回めのサイコロで出る場合しか勘定していない。
4 は 2 回めのサイコロで出る場合も、
1 回めと 3回めの両方で出る場合もあるだろう。

4 回サイコロを振るうちのどこで 4 の目が出るかには
2⁴ 通りものパターンがあり、そのいちいちを
あなたの方法で計算した上で集計するのは、
複雑過ぎて正直やってられない。

そこで、受験参考書などによく載っている解法の出番となる。
4 回振ったサイコロの目が全て ４ 以下である確率は、(4/6)⁴.
これは、非常に簡単に計算できるが、
最大の目が 4 である場合の他に
サイコロの目が全て 3 以下である場合も含んでいる。
取り除くべき「全て 3 以下である確率」も (3/6)⁴ と簡単に計算できるので、
求めたい確率は (4/6)⁴ - (3/6)⁴.

確率の問題は、数学というより算数の雰囲気が強く、
こういった、問題の見方、解釈の仕方で計算の手間が減る考察が欠かせない。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/01 09:12

1つのサイコロを4回振って出た目のうち最大なものが4になる確率

=
(4回とも1～4が出る(最大値≦4)確率(4/6)⁴)
-
(4回とも1～3が出る(最大値≦3)確率(3/6)⁴)
=
(4/6)⁴-(3/6)⁴
=
(256-81)/1296
=
175/1296

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/05/01 08:35

4111、4112、4113、4114、4121、・・・4444 だけで1×4^3=64個

これじゃ全然足りないです。3433とかいっぱい漏れてる。

ど根性で総当たりでも良いけど

4が1個、1~3が3個 4C1×3^3=4×27=108 通り
4が2個、1~3が2個 4C2×3^2=6×9=54 通り
4が3個、1~3が1個 4C3×3^1=4×3=12 通り
4が4個 1 通り

(108+54+12+1)/6^4=175/1296

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/04/30 22:56

「1回は4、3回は1〜4が出ればいい」から「1×4³/6⁴」という式が出てくる理由がさっぱりわからんし, さらに「1×4³/6⁴」

らん.