ハイパー演算子について

ハイパー演算子は加算、乗算、冪乗を一般化した演算のための演算子とのことですが、hyperlog2とかhyperiとかは作れますか？詳しく教えてくれませんか？

質問者からの補足コメント

• https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A4 …

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/06/03 01:27

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/03 18:12

リンク先の hyper(a,n,b) は

自然数 n,b に対してだけ定義されている。
b が自然数であることは、帰納的定義に
まぎれて見えにくいが、定義式の最下行で
hyper(a,n,b-１) に帰着し続けた結果
いつか b=0 にならなければいけないからだ。
a は実数でも複素数でも何でもいいけど、
これも自然数で扱われることは多い。

単純に hyper(a,n,b)=c ⇔ hyperlog(a,n,c)=b
で hyperlog を定義したとしたら、
hyperlog(a,n,c) は極とびとびの c に対して
しか定義されない。n が大きいと
hyper(a,n,b) は b に関する増加率が大きく、
多くの c を飛ばしてより大きい値をとるからだ。
対数の類似物で、b が a のちょうど自然数乗
のときにだけ定義される log_a b なんてものを
定義しても、不便で使い物にならない
ことは想像できるだろう。

普通の対数関数が使える関数として定義できたのは、
最初に hyper(a,3,b) として定義した a^b を
b が実数値をとる便利な関数として拡張できたから。
その手段としては、自然数 b に対する a^b が
指数法則と呼ばれる便利な公式 a^(b+B)=(a^b)(a^B),
a^(bB)=(a^b)^B を満たしていたから。
これを使って、「b が有理数でも指数法則が成り立つ」
「b が実数のとき a^b が連続」を要請すると
実数 b に対する a^b が定義された。

思えば、足し算の繰り返し hyper(a,2,b) として
自然数 b についてのみ定義された掛け算 ab が
実数 b へ拡張できたのも、「b が有理数でも
結合法則 a(bB)=(ab)B が成り立つ」と
「b が実数のとき ab が連続」によって
それなりの関数を作ることができたからだった。

n≧4 の hyper(a,n,b) についても、羃乗の指数法則や
掛け算の結合法則のような、それらしい計算法則を
見つけることができれば、b を実数にできるのかもしれない。
興味があれば、自分でやってみたらいいと思う。
世間に普及している数学としては、そのようなものは
定義されてないというのがWikipediaの記事にある話。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/03 08:27

補足のリンク先の「再帰的定義」のところに、hyper(a,n,b)は

「冪乗を指数関数に拡張したような、b、n の実数への自然な拡張はなされていない。」
と書いてあるよ。
hyperlog を定義するには、まずはそこからじゃない？

この回答へのお礼

拡張は存在しないのではなく、見つけていないだけだと思ってました。

a+b<y=hyper(a,1.5,b)<ab

y=(ab+a+b)/2

とか思ってたんですが間違ってますか？

お礼日時：2024/06/03 16:59

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/06/03 00:47

まずあなたのいう「ハイパー演算子」を定義してもらわないと話が始まらないねぇ.

でもって, その「hyperlog2」や「hyperi」がどのようなものなのかの説明もほしい.