「微分演算子の基本事項」なるものに関する質問です

ある問題で（Ｄ－３）（Ｄ－２）ｙ＝0（式①）　に於いて、一般解はｙ＝C₁e^3x+C₂e^2x　との事。
この部分を理解する為にネットで調べると、『U＝（D-2）yと置くと式①は（D-3）U＝0（式②）。演算子の基本事項e^3xDe^-3x=D-3が成立するので式②はe^3xDe^-3x・U=0となる。』　と書かれていました。

ここで質問です。上記、「演算子の基本事項が成立するので云々、　式②は～となる」、この部分が理解できないので何方か教えてください。当方超初学者なので宜しくお願いしましす。

尚ネットの出典先は北見工業大学のタイトル「微分演算子Dを用いて微分方程式を書き直すと・・・」です。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/19 18:53

＞ 質問が言葉足らずの様でしたね、

なんだ...
「演算子の基本事項が成立するので云々、式②は～となる」の部分じゃなく
「演算子の基本事項e^3xDe^-3x=D-3」が解らなかったんですね。
それならそう聞けばいいのに。
言葉は足らなかったんじゃなく、余計なことを書いたために
何を質問しているのか判らなくなったのだと思います。

D は x での微分を表しているので、十分滑らかな関数 f(x) に作用させると
e^(3x) D e^(-3x) f(x) = e^(3x) { (D e^(-3x)) f(x) + e^(-3x) (D f(x)) }　；積の微分
　　　　　　　　　= e^(3x) { (-3e^(-3x)) f(x) + e^(-3x) (D f(x)) }
　　　　　　　　　= e^(3x) (-3e^(-3x)) f(x) + e^(3x) e^(-3x) D f(x)　；分配法則
　　　　　　　　　= (-3) f(x) + D f(x)　
　　　　　　　　　= (-3 + D) f(x)
　　　　　　　　　= (D - 3) f(x).
f(x) は何でもよいので、e^(3x) D e^(-3x) = D - 3 です。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/18 18:45

（D - 3）U = 0 と

e^(3x) D e^(-3x) = D - 3 が成立していたら、
D - 3 を代入して
e^(3x) D e^(-3x) U = 0 でしょう？
特に変わった点はないように思うけれど...

この回答へのお礼

私の質問が言葉足らずの様でしたね、でも有難うございました。

お礼日時：2023/12/19 08:58

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2023/12/18 16:50

e^3x*De^(-3x)

というものを演算子であるとして考えます。
演算子ですからある関数f(x)の左側から作用させます。
[e^3x*De^(-3x)]f(x)
でこの[]を開いてみると
[e^3x*De^(-3x)]f(x)=e^3x*De^(-3x)f(x)=e^3x*D[e^(-3x)f(x)]
となります。
一番右の式のDは[]の式に対する微分演算子となります。
で、この式を実際に微分すると積の微分公式から
e^3x*D[e^(-3x)f(x)]=e^3x[{e^(-3x)}'f(x)+e^(-3x)*f'(x)]
=e^3x[-3*e^(-3x)*f(x)+e^(-3x)*f'(x)]=-3f(x)+f'(x)
と変形できます。
最後の項はDf(x)と表せるので
-3f(x)+f'(x)=-3f(x)+Df(x)=(D-3)f(x)
となります。
最初の式と=で結ぶと任意の関数f(x)に対して
[e^3x*De^(-3x)]f(x)=(D-3)f(x)
となりますので、演算子としては
e^3x*De^(-3x)=D-3
とみなせます。

この回答へのお礼

大変丁寧にご説明して頂き、有難うございました。

お礼日時：2023/12/19 08:57