簡単なはずですが教えてください。

ｍを０以上の整数として、全てのｍに対し、
　　a^m=a
を満たす有理数aを求めたいのです.

a=0,1
のみだと思うのですが、どうやって書きくだしたらいいでしょうか。mに関する帰納法しかないでしょうか？
ご教授ください。

No.6 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/09/24 08:57

0^0 は普通「未定義」だけど、それを除外してよいなら

aが負 → a < a^2 で成り立たない。
0 < a < 1 → a^2 < a で成り立たない。
1 < a → a < a^2 で成り立たない。
なので、候補は 0, 1 しかない。
a = 0 → a^m =0 (m≠0)
a = 1 → a^m = 1
なので、a = 0, 1

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/09/25 14:00

#5さん 最高だ。

No.8 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/09/25 06:07

#7さん・・・サイコーだ

No.7 回答者： kairou 回答日時： 2024/09/24 21:34

問題が「ｍを０以上の整数」ですから、m=0 が含まれます。

a=0 では 0⁰=1 ですから 具合が悪いのでは。
「全てのｍに対し」成り立つのは a=1 しかないのでは。

No.5 回答者： usa3usa 回答日時： 2024/09/24 07:13

m=0の場合　a^0 = 1 なので　a=1 （必要条件）

m>=0の整数の場合、a=1 ならば　1^m = 1 なので　a^m=a　を満たす（十分条件）

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/09/24 06:37

#2さんの通りで、m>0の整数とする。

まず、a<0 なら、mが偶数の時、与式を満たさないので、a≧0.

m=1の時は、任意の a≧0の有理数が満たす。・・・①
m≧2 とすると与式は
a^m-a=a(a-1){a^(m-2)+a^(m-3)+…+1}=0
最後の式は正だから、
a=0 or 1・・・②
となる。

①②から②が解となる。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/09/24 04:29

mを0以上の整数として、全てのmに対し、

　　a^m=a
を満たすとすると

m=2
のとき
a^2=a
a^2-a=0
a(a-1)=0
a=0またはa-1=0
∴
a=0,1

a=0のときa^m=0^m=0=a
a=1のときa^m=1^m=1=a

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/09/24 02:21

0^0＝1 って定義されるから、a＝０は成立しないのでは？

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2024/09/29 14:13

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/09/23 22:51

a^m = a　　　①

a=0 なら、任意の m に対して①が成り立ちます。

a≠0 のときには、①の両辺を a で割れば
　a^(m - 1) = 1
これがすべての m に対して成り立つためには
　a = 1

従って、任意の正の整数 m に対して①が成り立つのは
　a = 0, 1
のとき。

この回答へのお礼

早速ありがとうございます。

＞a^(m - 1) = 1
＞これがすべての m に対して成り立つためには
＞　a = 1
は、別に証明すればいい、ということですよね。（自明でない気がします）

お礼日時：2024/09/23 23:00