2024.5.8 08:24にした質問の 2024.5.8 11:55に書いた補足に対する 2024

2024.5.8 08:24にした質問の
2024.5.8 11:55に書いた補足に対する
2024.5.8 13:19に頂いた解答の

「Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2),1)
=∫{0<|z-1|=r}1/{(z+1)(z-1)^(n+2)dz

の積分は

0<|z-1|=r<2
の円周上の線積分なので
積分は発散しません」

に関して質問があります。


2024.8.31 00:04にした質問の
2024.9.3 13:40に頂いた解答の

「res(g(z),a)=1/(k-1)!lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)」

の部分と

2024.9.3 16:48に頂いた解答の

「res(g(z),π/2)=a(n)={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}」

や

「a(n)={1/(2πi)}∫{|z-c|=r]{f(z)/(z-c)^(n+1)}dz
c=π/2,,g(z)=f(z)/(z-c)^(n+1) ,f(z)=tan(z) とすると

a(n)=res(g(z),π/2)…(1)」

の部分より、

res(g(z),a)=a(n)=1/(k-1)!lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)

とできる為、

a(n)=1/(k-1)!lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)の式は、
積分のa(n)の式res(g(z),a)を、

2024.9.3 16:48に頂いた解答の

「res(g(z),π/2)=a(n)={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}」

の様に積分のa(n)の式res(g(z),a)を考慮している為、

2024.5.8 08:24にした質問の
2024.5.8 11:55に書いた補足に対する
2024.5.8 13:19に頂いた解答の

「Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2),1)
=∫{0<|z-1|=r}1/{(z+1)(z-1)^(n+2)dz

の積分は

0<|z-1|=r<2
の円周上の線積分なので
積分は発散しません」

の様に「積分」の話が出てきましたが、

なぜ、
0<|z-1|=r<2
の円周上の線積分では、
積分は発散しないのでしょうか？

どうか具体的な計算を踏まえて理由を教えて下さい。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/10/08 09:20

要領を得ない質問だなあ。

そういう個人的なやりとりは、掲示板じゃなく
m氏と直接メールでやれよとも思うし。

要するに、
∫{0<|z-1|=r} 1/{(z+1)(z-1)^(n+2) dz の
積分が発散しない理由を聞きたい
ってことなのかな？

まず、∫{0<|z-1|=r} 1/{(z+1)(z-1)^(n+2) dz が
「円周上の線積分」かどうかが疑問。
∫{|z-1|=r} 1/{(z+1)(z-1)^(n+2)} dz の話を
してるんじゃないだろうか？　そうであれば、

0<ｒ≠2 のとき
被積分関数 1/{(z+1)(z-1)^(n+2)} が積分経路上で有界だから
有限長の経路 |z-1|=r での積分は収束する。
そんだけ。

「具体的な計算を踏まえて」とか言ってるから、
単純明快な理由を見失う。
数学は、計算じゃなく、理屈なんだよ。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/10/08 09:16

g(z)がz=aでk位の極を持たなければ

res(g(z),a)=1/(k-1)!lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)は間違いです

g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)でなければ
res(g(z),π/2)=a(n)={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}は間違いです

g(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)がz=aでk=n+2位の極を持たなければ
res(g(z),a)=a(n)=1/(k-1)!lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)は間違いです

Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2),1)
={1/(2πi)}∫{0<|z-1|=r}1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz
={1/(2πi)}∫{0<|z-1|=r}1/{2-(1-z)}/(z-1)^(n+2)dz
={1/(2πi)}∫{0<|z-1|=r}(1/2)(1/{1-(1-z)/2})(z-1)^(-n-2)dz
={1/(2πi)}∫{0<|z-1|=r}{(1/2)Σ[j=0～∞](z-1)^(j-n-2)/(-2)^j}dz
={1/(2πi)}(1/2)Σ[j=0～∞](-2)^(-j)∫{0<|z-1|=r}(z-1)^(j-n-2)dz
={1/(2πi)}(1/2)(-2)^(-n-1)∫{0<|z-1|=r}{1/(z-1)}dz+Σ[j=0～∞,j≠n+1](-2)^(-j)∫{0<|z-1|=r}(z-1)^(j-n-2)dz]
={1/(2πi)}(1/2)(-2)^(-n-1)2πi
=(1/2)(-2)^(-n-1)
=(-1)^(-n-1)2^(-n-2)
=-(-2)^(-n-2)

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/10/08 05:35

g(z)がz=aでk位の極を持たなければ

res(g(z),a)=1/(k-1)!lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)は間違いです

g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)でなければ
res(g(z),π/2)=a(n)={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}は間違いです

g(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)がz=aでk=n+2位の極を持たなければ
res(g(z),a)=a(n)=1/(k-1)!lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)は間違いです

Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)
={1/(2πi)}∫{0<|z-1|=r}1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz
={1/(2πi)}∫{0<|z-1|=r}1/{2-(1-z)}/(z-1)^(n+2)dz
={1/(2πi)}∫{0<|z-1|=r}(1/2)(1/{1-(1-z)/2})(z-1)^(-n-2)dz
={1/(2πi)}∫{0<|z-1|=r}{(1/2)Σ[j=0～∞](z-1)^(j-n-2)/(-2)^j}dz
={1/(2πi)}(1/2)Σ[j=0～∞](-2)^(-j)∫{0<|z-1|=r}(z-1)^(j-n-2)dz
={1/(2πi)}(1/2)(-2)^(-n-1)∫{0<|z-1|=r}{1/(z-1)}dz+Σ[j=0～∞,j≠n+1](-2)^(-j)∫{0<|z-1|=r}(z-1)^(j-n-2)dz]
={1/(2πi)}(1/2)(-2)^(-n-1)2πi
=(1/2)(-2)^(-n-1)
=(-1)^(-n-1)2^(-n-2)
=-2^(-n-2)

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/10/08 04:24

g(z)がz=aでk位の極を持たなければ

res(g(z),a)=1/(k-1)!lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)は間違いです

g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)でなければ
res(g(z),π/2)=a(n)={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}は間違いです

g(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)がz=aでk=n+2位の極を持たなければ
res(g(z),a)=a(n)=1/(k-1)!lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)は間違いです