数学の同値変形について 命題 A=B (AとBは正の実数)ならばA^n=B^n (nは実数) は真で

数学の同値変形について
命題
A=B (AとBは正の実数)ならばA^n=B^n (nは実数)
は真ですか？n=2のときなどは真であることが分かりますが、nが分数のときや負の数のときにも成り立つのかが分かりません。これが分かれば解答の幅が広がると思うのでどなたか詳しい方ご教授下さい。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/10/13 15:56

一般に、関数 f があるとき、 A = B ならば f(A) = f(B) だよね。

これは、 f(x) が x に対して一意に決まること に基づいていて、
f の単射性とは特に関係が無い。

中高的には、変数に同じものを代入したら関数値は同じでしょ？
自明でしょ？ という話にしかならないが、これを証明らしく書こうとすれば、
そもそも関数って何か という定義が必要になる。
中学で習ったブラックボックス論議では、話の形式化は難しい。

ここから先は、やや長くなる。
集合 A の元 a と集合 B の元 b の対 (a,b) を全て集めた集合を
「A と B の直積」といい、 A×B と書く。

A×B の部分集合を「A,B 上の関係」という。
集合 A の元 a と集合 B の元 b の対 (a,b) がいくつか集まったもの
という意味だ。
A,B 上の関係 R に対して、(a,b) ∈ R であることを aRb と書くことが多い。
例えば a < b なんてのも、直積 R×R の部分集合 ＜ によって定められている
と考えればいい。

以上を踏まえて、集合を X,Y 上の関係 F で、
(x,y1) ∈ F かつ (x,y2) ∈ F ならば y1 = y2 が成り立つものを
「X から Y への関数」という。
ｘ が決まれば xFy となる y は一意に決まる という意味だ。
関数 f と関係 f(x) = y を同一視していることになるが、
基礎に近いところでは、こういう積極的な混同はよく使われる。

さて、「関数」が定義できたところで、(x,y) ∈ F ⇔ x^n = y という
関数 F を考えると、 (a,u) ∈ F かつ (b,v) ∈ F であれば
関数の一意性から u = v である。これが a^n = b^n だってこと。

要するに、変数に同じものを代入したら関数値は同じでしょ？
って言ってるだけなんだけど。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/10/13 13:56

「指数関数」というものはご存知でしょうか?

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/10/13 13:45

n=0 であれば、任意の正の実数 A, B に対して

　A^n = A^0 = 1
　B^n = B^0 = 1
なので A^n = B^n が成り立ちます。
（この要件に A=B は必要ありません）

n≠0 であれば
　A = B = C^(1/n)
となる正の実数 C が存在し
　A^n = [C^(1/n)]^n = C
　B^n = [C^(1/n)]^n = C
なので A^n = B^n が成り立ちます。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/10/13 13:34

nが分数のときや負の数のときにも成り立つでしょう。

ただし、n=0 のときには、その命題自体は成り立ちますが、逆は成り立ちません。
n≠0 であれば、逆も成り立つでしょう。