インテグラル(-∞→∞)e^x^2dxを解くときにヤコビアンでりゃθの変換しますが x 0→∞ y

インテグラル(-∞→∞)e^x^2dxを解くときにヤコビアンでりゃθの変換しますが
x 0→∞
y 0→∞

r 0→∞
なんですがθは0→π/2になるんですけどなんでですか？

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/10/24 22:57

∫[-∞→+∞] e^(-x^2) dx

　　= 2∫[0→+∞] e^(-x^2) dx,
{ ∫[0→+∞] e^(-x^2) dx }^2
　　= { ∫[0→+∞] e^(-x^2) dx }{ ∫[0→+∞] e^(-y^2) dy }
　　= ∬[x=0→+∞,y=0→+∞] e^-(x^2+y^2) dxdy
　　= ∬[ｒ=0→∞,θ=0→π/2] e^(-r^2) rdrdθ
　　= { ∫[0→∞] re^(-r^2) dr }{ ∫[0→π/2] dθ }.
って計算する話をしていますか？

dθ での積分区間が θ=0→π/2 になるのは、
dxdy での積分領域 x=0→+∞, y=0→+∞ が
drdθ での積分領域 ｒ=0→∞,θ=0→π/2 に対応するからです。
xy平面に領域を図示して考えれば解るんじゃないかな。

でも、何も積分領域を 1/4 にして考えなくても、 素直に
{ ∫[-∞→+∞] e^(-x^2) dx }^2
　　= { ∫[-∞→+∞] e^(-x^2) dx }{ ∫[-∞→+∞] e^(-y^2) dy }
　　= ∬[x=-∞→+∞,y=-∞→+∞] e^-(x^2+y^2) dxdy
　　= ∬[ｒ=0→∞,θ=0→2π] e^(-r^2) rdrdθ
　　= { ∫[0→∞] re^(-r^2) dr }{ ∫[0→2π] dθ }.
でもいいと思うんだけどな。こっちのが話がシンプルで。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/10/24 21:28

∫(-∞→∞)e^x^2dx　は∞に発散します

∫(-∞→∞)e^(-x^2)dx
なら収束するけれども

No.3 回答者： アンドロメダシティ 回答日時： 2024/10/23 17:38

x 0→∞

　y 0→∞

ですから、xy座標で第1象限しか使わないからではないですか。

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/10/23 16:46

xとyの範囲を0→∞にしたからです。

xy平面上で考えると(x,y) x:0～∞,y:0～∞の範囲は第1象限(x軸,y軸を含む)全体になりますね。

そこで任意の点A(x,y)をr,θの極座標で表すと
r=OA
θ=x軸とOAのなす角
とおくと
x=r*cosθ,y=r*sinθと表せます。

今は第1象限だけを考えていますのでθの範囲は
Aがx軸上の時:θ=0
Aがy軸上の時:θ=π/2
となり、θは上記の二つの間の値を取ります。

もし最初にxとyの範囲をそれぞれ-∞～∞にすると、考える領域はxy平面全体となり、θの範囲は0～2πとなります。
普通はこっちで計算するんじゃないかな?

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/10/23 16:26

インテグラル(-∞→∞)e^x^2dxを解く

どこに　yがある?