サイコロの1以外が出る平均回数を計算で求められる?

サイコロの1以外が出る確率は5/6ですが、
このサイコロを投げ続けた場合に、1以外の目が連続で出る平均回数を求めたいのですが、どのような方法で求めたら良いものでしょうか?

No.3 ベストアンサー 回答者： shkwta 回答日時： 2005/06/26 11:49

次のルールで考えます。

サイコロを振って、
(1)1回目で1の目が出たらそこでストップ。記録は0回。1以外の目なら続行。
(2)2回目で1の目が出たらそこでストップ。記録は1回。1以外の目なら続行。
(3)同様に、n回目で1の目が出たらそこでストップして、記録は(n-1)回。1以外の目なら続行とします。

１の目が出るまで連続してサイコロを振ることを１回の試行とします。このルールで多数の試行を行った場合の記録の平均を求めます。

記録が0回の確率…1/6
記録が1回の確率は、1回目で1以外の目が出て、2回目で1の目が出る確率なので、(5/6)×(1/6)
以下、同様に、
記録がk回の確率は、{(5/6)^k}×(1/6)

よって、記録の平均値vは
v = Σ[k=0 to ∞]{(5/6)^k}×(1/6)×k = (1/6)Σ[k=1 to ∞] k {(5/6)^k}

上の級数の和を求めるため、次の計算をします。

まず、f(x) = 1/{(1-x)^2} という関数を考えます。f(x)をマクローリン展開（x=0でテイラー展開）しますと、
f(x) = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + …
となります。この無限級数の収束域は|x|<1です。関数g(x)を次のようにおきます。
g(x) = x f(x) = x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + … = Σ[k=1 to ∞]k(x^k)

vをg(x)で表わすと、
v = (1/6)×g(5/6) = (1/6)(5/6){1/(1-5/6)^2}= 5

これで、記録の平均値は5と求められました。

この回答への補足

○30/100がストップ、70/100が継続
v=(30/100)(70/100){1/(1-70/100)^2}=2.3333

でした、訂正です。

補足日時：2005/06/27 16:39

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

数学的意味合いは良く分かりませんが、最後の式を他の例で計算して見ました。

○2/10がストップ、8/10が継続
v=(2/10)(8/10){1/(1-8/10)^2}=4

○30/100がストップ、70/100が継続
v=(20/100)(80/100){1/(1-80/100)^2}=2.3333

この公式で当初の目的が達成できます。
ありがとうございました。

お礼日時：2005/06/27 16:30

No.5 回答者： sunasearch 回答日時： 2005/06/27 07:51

サイコロをふり続けて、平均して何回目に初めて１の目が出るか？

という問題は、１の目が出る確率1/6の逆数で６回目になります。

つまり、平均して、
xxxxxo (oが１の目、ｘが１以外の目)
になります。

したがって、6-1 = 5が１以外の目が連続で出る平均回数になります。

No.4 回答者： payForward 回答日時： 2005/06/27 00:05

ちょっと反則的な求め方を書いておきます。

ルールは、No.3のものと同じで考えます。

平均回数（期待値）をｘとおきます。
一回目の試行で
１が出る確率　　…1/6 このとき、回数は０

１以外が出る確率…5/6
　 このときは、あとX回続くことが期待されるので、回数の平均は（１＋ｘ）

以上のことから、
x = (1/6) × 0 ＋ (5/6) × (x + 1)
この方程式を解いて、
x = 5
となります。

No.2 回答者： potan 回答日時： 2005/06/26 10:40

おはようございます、potan です。

えと・・
何回サイコロをふった際の「1以外の目が連続で出る平均回数」なんでしょうか？

確率なら
２回連続で１以外の目が出る確率は５／６の２乗で、３回連続なら５／６の３乗・・・・という感じになると思います。(^ ^)

No.1 回答者： ginger0613 回答日時： 2005/06/26 10:26

確率だけの問題なら何回さいころ振っても　確率は同じですから5/6です。

確率と実際にさいころふってみての統計とはまったく別物ですよ。