人に聞けない痔の悩み、これでスッキリ >>

f(x,y)の関数について臨界点を求めるように課題が出ました。

質問(1) 臨界点と境界点は同じものなのですか?
質問(2) 同じではないとしたら、臨界点とは何なのですか?

どなたか分かる方、教えてください。

A 回答 (3件)

> δf/δx=4x^3-2x-2y    …… (1)


> δf/δy=4y^3-2x-2y   …… (2)
>
> という問題があって臨界点をもとめると
> (x,y)=(1,1),(0,0),(-1,-1)
> となっている問題集があるのですが、具体てきにどうやって解いているのですか?
> 私がとくとy=xを満たす点、というように無限に出てきてしまうのですが。。。

y=x というのは、(1)-(2) からでてきたのだと思いますが、それだけでは解いたことになりませんね。
なぜなら、
(1)かつ(2) ⇔ (1)かつ( (1)-(2) ) ⇔ (1) かつ y=x
だからです。
これより、関数 f の臨界点が (0,0), (1,1), (-1,-1) と求まります。
    • good
    • 2

臨界点の個数が有限とは限りません.


#1のお礼の例では
臨界点全体={(x,y)∈R^2|x=y}={(x,x)|x∈R}
となります.
    • good
    • 1

臨界点と境界点とは別物です。



境界点というのは、ある領域Dがあったとき、その領域Dの端(境界)にある点のことです。
たとえば、Dが原点中心、半径1の円盤の内部だとすると、その境界点とは半径1の円周上の点のことです。

一方、関数 f(x,y) の臨界点とは、
δf/δx = δf/δy = 0
となる点のことです。
例を挙げてみましょう。
f(x,y) = x^2 + y^2
のとき、
δf/δx = 2x, δf/δy = 2y
なので、関数 f の臨界点は原点 (0, 0) となります。

また、
f(x,y) = x^2
のときは、臨界点は無数にあって、その集合はy軸全体となります。
    • good
    • 1
この回答へのお礼

よく分かりました。ありがとうございます。
では
δf/δx=4x^3-2x-2y
δf/δy =4y^3-2x-2y

という問題があって臨界点をもとめると
(x,y)=(1,1),(0,0),(-1,-1)
となっている問題集があるのですが、具体てきにどうやって解いているのですか?
私がとくとy=xを満たす点、というように無限に出てきてしまうのですが。。。

お礼日時:2006/01/14 14:32

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qレゾルシノール樹脂について

レゾルシノールとホルマリン(ホルムアルデヒド)による、レゾルシノール樹脂の合成の反応式を教えてもらえないでしょうか?

レゾルシノール樹脂の構造式だけでも構いません。

わがままを言って申し訳なおですが、できるだけ早くお願い致します。

Aベストアンサー

フェノール樹脂のフェノール(水酸基1個)を、レゾルシン(別名レゾルシノール、水酸基はメタ位の
位置関係で2つ)置き換えた形のものがレゾルシノール樹脂です。
(原料をフェノールからレゾルシンに変えれば、後は同様の(もしくはそれより穏やかな)条件で
 反応が進むと思います)


従って、構造としてはフェノール樹脂とほぼ同じで、フェノール樹脂中のベンゼン環に、既存の
水酸基に対してメタ位に水酸基を追加で書き込んでやったものになります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%AB%E6%A8%B9%E8%84%82


ただ、ポリエチレン(PE)やPETなどのように一本鎖の高分子なら「-(CH2-CH2)n-」といった
描き方ができますが、フェノール樹脂などの場合は、「ベンゼン環から2本のメチレン結合が
出る場合」の他に、「ベンゼン環から3本のメチレン結合が出る場合」もあるため、
PEなどのように「-(○○)n-」といった描き方をすることはできません。


ポリエチレン:
  
・・・/\/\/\・・・

  →「-(CH2-CH2)-」(または「-(CH2)-」)で代表させることができる


フェノール樹脂:
(メチレンを2つ持つベンゼン環を「○」、3つ持つベンゼン環を「◎」で表示)

    ○    ○
・・・/ \ / \
      ◎    ○―・・・
      |
      ◎
     / \
・・・―○    ○―・・・

 →「○」と「◎」が不規則に現れるため、一部の構造で代表させることができない

フェノール樹脂のフェノール(水酸基1個)を、レゾルシン(別名レゾルシノール、水酸基はメタ位の
位置関係で2つ)置き換えた形のものがレゾルシノール樹脂です。
(原料をフェノールからレゾルシンに変えれば、後は同様の(もしくはそれより穏やかな)条件で
 反応が進むと思います)


従って、構造としてはフェノール樹脂とほぼ同じで、フェノール樹脂中のベンゼン環に、既存の
水酸基に対してメタ位に水酸基を追加で書き込んでやったものになります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83...続きを読む

Q集積点が、まったく分かりません!!

集積点の意味がまったくわかりません。詳しく教えてください。

Aベストアンサー

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のAの要素が存在するような点」
と言い替えられます。

直観的な言い方をすれば、x∈XがAの集積点であるとは
「xのどんな近くにも(x以外の)Aの点がある」
と言う条件をみたすような点のことです。

ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。
すなわちx∈XがAの孤立点であるとは
xがAの要素であり  …(S1)
かつxのある近傍とAの共通部分にx以外のAの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなAの要素はxだけであるような点」
となります。

注意していただきたいのはx∈AであることはxがAの集積点であるためには
必要でも十分でもないということです。
xがAの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Aの点でないような
Aの集積点も存在します。
しかし孤立点と言う概念は集合Aの要素に対して与えられる概念ですから、Aに
属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをAの孤立点とは呼びません。

あとは距離空間(ユークリッド空間)での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい

例(1)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| x^2 + y^2 < 1} ∪ (2.0)
とします。つまりAは原点中心半径1の開円盤と点(2,0)の和集合です。
するとAの集積点(の集合)は
{(x,y)∈X| x^2 + y^2 ≦ 1}
すなわち原点中心半径1の開円盤とその境界となります。
点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。

例(2)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) }
とします。Aの集積点(の集合)はA自身と集合
B={(0,y)∈X| y∈[-1,1] }
の和集合です。

例(3)Xを1次元ユークリッド空間として
A= { 1/n | n=1,2,…}
とします。原点{0}はAの集積点です。しかしA自身の点はすべて孤立点です。

例(4)Xを1次元ユークリッド空間として
Aは開区間(0,1)の有理点。すなわち
A= { x∈(0,1)|xは有理数 }
とします。Aの集積点(の集合)は閉区間[0,1]です。

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるよう...続きを読む

Q臨界点でHessianが0の時の極値の判定

微分可能な実多変数関数の臨界点(全ての1回導関数が0になる点)でHessianが0でないときはHesse行列の固有値によってこの点が極値かどうかの判定ができることはよく知られていますが、Hessianが0になるときの判定法を書いてある本は少ないようです。私が考えた結果、次の結論に至りました。
(1)Hesse行列の0以外の固有値に符号が異なるものがあるときはこの点は極値ではない。なぜならば固有値が正の固有ベクトルの方向に関しては極小点となっており、固有値が負の固有ベクトルの方向に関しては極大点となっているから。
(2)Hesse行列の0以外の固有値がすべて同符号で固有値0の空間が1次元であるときは、固有値0の固有ベクトルの方向に関して極値になっているかを調べれば良い。これは1変数関数の極値の判定に帰着するので容易。
(3)Hesse行列の固有値0の独立な固有ベクトルが2個以上のときは、各固有ベクトルの方向に関して調べてもこの点が極値であるかどうかの判定はできない。
そこで、やっと質問ですが、(3)の場合は極値の判定はどの様にしたら良いのでしょうか。

微分可能な実多変数関数の臨界点(全ての1回導関数が0になる点)でHessianが0でないときはHesse行列の固有値によってこの点が極値かどうかの判定ができることはよく知られていますが、Hessianが0になるときの判定法を書いてある本は少ないようです。私が考えた結果、次の結論に至りました。
(1)Hesse行列の0以外の固有値に符号が異なるものがあるときはこの点は極値ではない。なぜならば固有値が正の固有ベクトルの方向に関しては極小点となっており、固有値が負の固有ベクトルの方向に関しては極大点となって...続きを読む

Aベストアンサー

稚拙な回答で恐縮ですが、近傍の値を実際に調べてみるのが一番ではないですか?f(x,y)-f(0,0)の符号を調べるという感じで。極値判定は抽象的な場合について知りたいというよりは、具体的に関数が与えられた場合について考察したいことがほとんどのように思います。あるいは同じことですが、任意方向の方向微分を計算してみるのはいかがですか。1変数の極値判定に帰着できるのであれば、より高解の微分によって判定条件が与えられそうな気がしなくもないですが、面倒そうに思います。

Q多様体の臨界点について

今、多様体の勉強をしているのですが、どうしてもひとつ分からない問題があります。

M={x in R^4: (x_1)^2+(x_2)^2=1+(x_3)^2+(x_4)^2 }

と置いた時、f:M→Rを

f(x)=(x_1)^2+(x_2)+(x_4)^2

と定めます。このとき、Mの開集合である

U={x in M: (x_1)>0, (x_4)>0}

に含まれるfの臨界点をすべて求める
(Mが連結でない時はその(1,0,・・・,0)を含む連結成分に置き換えて考えることにする)

という問題なのですが、正則点、臨界点などの部分の定義が本を読んでもいまひとつ理解することができず、自分が計算していると何を計算しているのか分からなくなってしまいます。
どうかアドバイスをよろしくお願いします。

Aベストアンサー

正則点・・微分可能な点
臨界点・・導関数が0となる点
だったような気がしますが
多様体を抜きにして考えると分り易いかもしれません.
つまりユークリッド空間の場合に帰着する為に局所座標系を噛ますといいのではないでしょうか?

Qメチルオレンジについて

教えてください!!

メチルオレンジはなぜ水に可溶なんでしょうか?

またそれにはメチルオレンジのどのような構造が関わっているのですか?

早急に知りたいです!!

Aベストアンサー

1.
ものが溶けるという現象は、単純には言えないのですが、基礎的な法則として、似たような構造のものに溶けやすい、ということがあります。水は極性が大きく、また、メチルオレンジも極性が大きい(極性が大きい→分子内での電荷の偏りが大きい→イオン性物質はそうみなせる)ということで、溶けるということです。
実際には、他にも水に溶けるための要素は「水和するか」「溶けたときにある程度の小ささか」などいくつかあります。
まま昔ですが、大学で習ったことはそんな感じでした。

2.
以下のページで「メチルオレンジ」を検索して構造を眺めてください。水中で溶解しているメチルオレンジの化学式になります。酸性下では、水素イオンがジアゾ基と呼ばれる-N=N-のところに結合して陽イオン、また中性・塩基性下では、スルホン酸基のところが水素イオンを放出して陰イオンとなっています。
http://www.kiriya-chem.co.jp/q&a/q43.html
関わっている、といわれるととても難しいのですが、ジアゾ基やベンゼン環がなければこのような構造はとれません。一番影響が大きいのはスルホン酸基でしょうか。

どなたか、詳しくご存知の方、サポートよろしくお願いします。

1.
ものが溶けるという現象は、単純には言えないのですが、基礎的な法則として、似たような構造のものに溶けやすい、ということがあります。水は極性が大きく、また、メチルオレンジも極性が大きい(極性が大きい→分子内での電荷の偏りが大きい→イオン性物質はそうみなせる)ということで、溶けるということです。
実際には、他にも水に溶けるための要素は「水和するか」「溶けたときにある程度の小ささか」などいくつかあります。
まま昔ですが、大学で習ったことはそんな感じでした。

2.
以下のペー...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q【数理統計学】仮説検定の、臨界値の求め方が分

以下の【例】の仮説検定の問題を解いています。
http://i.imgur.com/WNC5i0t.jpg

ところが、以下のページの一番下の二つの式
http://i.imgur.com/SaaiAjC.jpg

において、式番号(12.1.2)のu(0.05)が、次の式ではいきなり1.65に変わっています。なぜなのでしょうか?
他は全て分かったのですが、肝心のこの部分だけさっぱり分からず、先に進むことができず非常に困っています。

どなたか、お力をお貸しください。解説してくださる方、大変申し訳ないのですが解答の方よろしくお願いします。

Aベストアンサー

普通は先に定義してから使うはずなので、その本の前の方にuについてなにがしかの説明があるはず (なかったとしたら著者の手落ち) ですが、数字から見て、標準正規分布 N(0,1) に従う確率変数Zについて P(Z > z) = 0.05 となるzの値のことををu(0.05)としているようです。言い換えると、u(p) は標準正規分布の上側確率がpとなる分位点、すなわち、上側100p%点、ということです。
統計の教科書ならば巻末に標準正規分布等の表があるはずですので、それを見てください。u(0.05)の値は簡単に計算で導けるものではありませんので、数表を見るかパソコンに計算させるかしかありません。ただし、1.96や1.65はよく使われる数字なので、そのうち暗記してしまいます。

QC1級関数って何ですか?

級数の勉強をしていると、
” C1級数関数 ”
(※ 1はCの右上の小さい文字。表記できませんでした。)
という用語が出てきたのですが、どういう意味なのかわかりません。
どういう関数なのか教えてください。

Aベストアンサー

こんにちは.Esnaです.

C1級は,1回微分可能な関数のことです.
Cn級や,C∞級(e^x,sin x など)など微分可能回数によって関数を分類したものです.

Q活性化エネルギーの求め方が分かりません

ある反応において、35℃における速度定数が25℃の2倍になったという。
この反応の活性化エネルギーはいくらか求めたいのですが、わかりません。
教えてください!

Aベストアンサー

ryota7さんがお答えのように『アレーニウスの式』を利用すれば計算できると思いますよ。

『アレーニウスの式』では速度定数をk、頻度因子をA,活性化エネルギーEa、気体定数R、温度T(絶対温度)、ネピアの定数をeとすると

K=A×eの(-Ea/RT)乗  つまりK=Ae^(-Ea/RT)となります。

ここで、25℃における頻度因子、活性化エネルギーは35℃におけるそれらと等しい(この温度間で変化しない)と仮定します。
そして、25℃の時の速度定数、K(25℃)と35℃の時の速度定数、K(35℃)の比を計算します。

K(35℃)/K(25℃)は、問題の設定から2倍ですから、

K(35℃)/K(25℃)=2=A(35℃)e^(-Ea/RT1)/ A(25℃)e^(-Ea/RT2)となります。

ここではT1は35℃に相当する絶対温度で35+273(k)T2は25℃に相当する絶対温度で25+273(k)です。
また、この式から分かるように頻度因子は約分されてしまいます。

両辺の自然対数(底が10の常用対数ではありません。常用対数を使うのならば換算しなければなりません。)をとると

ln2=(-Ea/RT1)-(-Ea/RT2)

Ea/Rは共通なので

ln2=(Ea/R)(1/T2-1/T1)となります。

ここへT1,T2、Rを代入すればEaは簡単に計算できます。

用いる気体常数の単位に気をつけてください。
私が学生の頃は旧単位系なので1.987を用いていました。

これを用いると計算結果はカロリーで出てきます。
それをキロカロリーに換算して用いていました。
現在はSI単位系つまりKJ/molでないといけないと思いますが、考え方自体は変わらないはずです。

ちなみに、ln2=0.693として計算すると12.6kcal/mol(旧単位系)となりました。

ryota7さんがお答えのように『アレーニウスの式』を利用すれば計算できると思いますよ。

『アレーニウスの式』では速度定数をk、頻度因子をA,活性化エネルギーEa、気体定数R、温度T(絶対温度)、ネピアの定数をeとすると

K=A×eの(-Ea/RT)乗  つまりK=Ae^(-Ea/RT)となります。

ここで、25℃における頻度因子、活性化エネルギーは35℃におけるそれらと等しい(この温度間で変化しない)と仮定します。
そして、25℃の時の速度定数、K(25℃)と35℃の時の速度定数、K(35℃)の比を計算します。

...続きを読む

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/


人気Q&Aランキング