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 楕円体の表面積の求め方について教えてください。

A 回答 (4件)

一般の楕円体はちょっとかんべんしてもらって,


回転楕円体
(1)  (x^2+y^2)/a^2 + z^2/c^2 = 1
の表面積に焦点を絞って回答します.

残念ながら No.1 と No.2 の回答は不正解のようです.

No.1 は楕円の面積の π×(長半径)×(短半径) から類推されているような
気がします.
一つの軸をスケール変換したときに,
平面図形の面積あるいは立体図形の体積,などはスケール変換と簡単に関連づけられて,
円の面積から楕円の面積,球の体積から楕円体の体積,
など求めることが可能です.
しかし,楕円の周長や,楕円体の表面積はそうはいきません.
参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=27302

No.2 は方針は合っていますが,傾きのことを忘れています.
曲線の長さを求めるときに √{1+(dy/dx)^2} の因子に相当するものを
考慮しないといけません.

z 一定の面での切り口は円で,その半径 R は(1)で x^2+y^2 = R^2 とおいたものですから
(1)  R = (a/c)√(c^2 - a^2)
です.
円周はもちろん 2πR.
z~z+dz の範囲からの表面積への寄与 dS は
(2)  dS = 2πR √{dR^2+dz^2} = 2πR √{1+(dR/dz)^2} dz
下図の斜線部が √{dR^2+dz^2} です.

        /  ↑
       /│  │
      / │  dR
     /  │  │
    /   │  ↓
    │   │
    │   │
   R│   │
    │   │
    z   z+dz

あとはこれを積分すればよく
(3)  S = ∫{-c~c} 2πR √{1+(dR/dz)^2} dz
を(1)を考慮して計算すればOKです.
ちょっと計算してみるとわかりますが,積分の本質的部分は
(4)  ∫{-c~c} √{c^4 + (a^2-c^2)z^2} dz
で,a>c か a<c かの分類が必要です.
結果は
a>c のとき
(5)  S = 2πa^2 + [πac^2/√(a^2-c^2)] log {[a+√(a^2-c^2)]/[a-√(a^2-c^2)]}
a<c のとき
(6)  S = 2πa^2 + [2πac^2/√(c^2-a^2)] arccos(a/c)
です.
a=c ならもちろん S = 4πa^2.

回転楕円体でなくて,一般の楕円体
(7)  x^2/a^2 + + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1
なら,z 一定の切り口が楕円ですし,傾きも方向によって異なります.
表面積の公式
(8)  ∬ √{1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2} dx dy
を使う方がわかりやすいかも知れません.
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この回答へのお礼

ありがとうございました。大変参考になりました。

お礼日時:2001/12/28 15:22

かなり複雑な計算式になりますね。


参考URLに公式があります。
色々な公式集はこちら。
 ↓
http://www.asahi-net.or.jp/~jb2y-bk/math/heartko …

参考URL:http://www.asahi-net.or.jp/~jb2y-bk/math/daenmen …
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まず楕円の式を y について解き、次にその y を半径として


2yπ=円周 が出ますね。それを左端から右端まで積分すれば出ると思う
のですが・・・・(実際には2×まん中から右端までになると思いますが)。

間違っていたらすみません。
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楕円体の表面積を求める公式は、


4×π×(長半径)×(短半径)
ですね。
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