楕円体の表面積の求め方について教えてください。

A 回答 (4件)

一般の楕円体はちょっとかんべんしてもらって,


回転楕円体
(1)  (x^2+y^2)/a^2 + z^2/c^2 = 1
の表面積に焦点を絞って回答します.

残念ながら No.1 と No.2 の回答は不正解のようです.

No.1 は楕円の面積の π×(長半径)×(短半径) から類推されているような
気がします.
一つの軸をスケール変換したときに,
平面図形の面積あるいは立体図形の体積,などはスケール変換と簡単に関連づけられて,
円の面積から楕円の面積,球の体積から楕円体の体積,
など求めることが可能です.
しかし,楕円の周長や,楕円体の表面積はそうはいきません.
参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=27302

No.2 は方針は合っていますが,傾きのことを忘れています.
曲線の長さを求めるときに √{1+(dy/dx)^2} の因子に相当するものを
考慮しないといけません.

z 一定の面での切り口は円で,その半径 R は(1)で x^2+y^2 = R^2 とおいたものですから
(1)  R = (a/c)√(c^2 - a^2)
です.
円周はもちろん 2πR.
z~z+dz の範囲からの表面積への寄与 dS は
(2)  dS = 2πR √{dR^2+dz^2} = 2πR √{1+(dR/dz)^2} dz
下図の斜線部が √{dR^2+dz^2} です.

        /  ↑
       /│  │
      / │  dR
     /  │  │
    /   │  ↓
    │   │
    │   │
   R│   │
    │   │
    z   z+dz

あとはこれを積分すればよく
(3)  S = ∫{-c~c} 2πR √{1+(dR/dz)^2} dz
を(1)を考慮して計算すればOKです.
ちょっと計算してみるとわかりますが,積分の本質的部分は
(4)  ∫{-c~c} √{c^4 + (a^2-c^2)z^2} dz
で,a>c か a<c かの分類が必要です.
結果は
a>c のとき
(5)  S = 2πa^2 + [πac^2/√(a^2-c^2)] log {[a+√(a^2-c^2)]/[a-√(a^2-c^2)]}
a<c のとき
(6)  S = 2πa^2 + [2πac^2/√(c^2-a^2)] arccos(a/c)
です.
a=c ならもちろん S = 4πa^2.

回転楕円体でなくて,一般の楕円体
(7)  x^2/a^2 + + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1
なら,z 一定の切り口が楕円ですし,傾きも方向によって異なります.
表面積の公式
(8)  ∬ √{1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2} dx dy
を使う方がわかりやすいかも知れません.
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この回答へのお礼

ありがとうございました。大変参考になりました。

お礼日時:2001/12/28 15:22

かなり複雑な計算式になりますね。


参考URLに公式があります。
色々な公式集はこちら。
 ↓
http://www.asahi-net.or.jp/~jb2y-bk/math/heartko …

参考URL:http://www.asahi-net.or.jp/~jb2y-bk/math/daenmen …
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まず楕円の式を y について解き、次にその y を半径として


2yπ=円周 が出ますね。それを左端から右端まで積分すれば出ると思う
のですが・・・・(実際には2×まん中から右端までになると思いますが)。

間違っていたらすみません。
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楕円体の表面積を求める公式は、


4×π×(長半径)×(短半径)
ですね。
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球の表面積・体積の公式を…

球の 表面積も体積も
4や3/4を使っていた気はするのですが…
それ以上は思い出せず(~_~;)
なので どちらかだけでもお分かりの方は
ぜひ 教えて下さい!

Aベストアンサー

検索する気は全くなし…?

表面積
S=4πr^2

体積
V=4/3πr^3

参考URL:http://ja.wikibooks.org/wiki/初等数学公式集

QDubois式以外の体表面積の求め方

Dubois式以外の体表面積の求め方について教えてください。
検索しても、あまり出てきませんでした。お願いします。

Aベストアンサー

補足欄に誤植がありますので投稿します。
検索TOPで、ご存知とは思いますがURL張ります。
http://www.osaka-med.ac.jp/deps/in1/res/calc/bsa.html
なお此のSITEの記述に統一性がないので、エクセルで追試します。
誤記述というか、自動計算の結果の単位が(cm^2)ではなく(m^2)です。
HT=163.4
BW=54.3
BSA(Du Bois):体表面積(Du Bois式)
BSA:欧米人の体表面積
BSA(cm^2) = 71.84 * HT(cm)^0.725 * BW(kg)^0.425
=71.84*(163.4^0.725)*(54.3^0.425)
=15785.70524
=1.5785705237622411(SITEの自動計算)
BSA(Fujimoto):体表面積(藤本式)
BSA:日本人の体表面積
BSA(cm^2) = 88.83 * HT(cm)^0.663 * BW(kg)^0.444
=88.83*(163.4^0.663)*(54.3^0.444)
=15353.12893
=1.5353128932462136(SITEの自動計算)

補足欄に誤植がありますので投稿します。
検索TOPで、ご存知とは思いますがURL張ります。
http://www.osaka-med.ac.jp/deps/in1/res/calc/bsa.html
なお此のSITEの記述に統一性がないので、エクセルで追試します。
誤記述というか、自動計算の結果の単位が(cm^2)ではなく(m^2)です。
HT=163.4
BW=54.3
BSA(Du Bois):体表面積(Du Bois式)
BSA:欧米人の体表面積
BSA(cm^2) = 71.84 * HT(cm)^0.725 * BW(kg)^0.425
=71.84*(163.4^0.725)*(54.3^0.425)
=15785.70524
=1.5785705237622411(S...続きを読む

Q【簡単だと思いますが】円の体積、表面積の公式。

【簡単だと思いますが】円の体積、表面積の公式。
確か体積は3分の4πr^3で、表面積は4πr^2ですよね。

どうしてそうなんでしょうか?

私には小学校レベルの知識しかないのです。
その通り、云ってしまうと中1だということですが・・・。
優しく教えてくださる方、いますでしょうか?

教えてください!!

私死んでも良いので・・・。





教えてくださぁい!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Aベストアンサー

こんにちは。

高校の2~3年で習う微分(びぶん)、積分(せきぶん)、三角関数(さんかくかんすう)の知識が必要です。
以下は、過去にある質問に対して私が書いた回答の一部を抜粋・再編集したものです。
イメージがわかりやすいように地球儀にたとえて、普通の数学の本などとは一味違った説明をしています。

これでも難しく感じるかもしれませんが、意味がわからなくても何となくイメージが湧けば、一歩前に進めたことになります。

----------------------------------------

私は文献等を参照にしていませんし、数学もあまり得意でないですが、学生の頃から個人的に考えていたことに基づいて書きます。

地球儀で考えるとよいですが、三次元は極座標は(r,θ,φ)で表せます。
r(あーる)は中心からの距離、θ(しーた)は緯度、φ(ふぁい)は経度です。

このとき重要な事実は、
「半径r方向に対して、角度θとφの方向は常に垂直で、かつ、θとφも互いに垂直方向である」
ということです。

二次元で考えれば簡単です。半径に対して、円周に沿う方向は垂直ですよね?
(だから、円の面積は、底辺2πr、高さrの三角形と同じ面積になるのです。円の「底辺」である円周と「高さ」である半径とは、常に垂直ですから。)

地表で見れば、
θが-90度(南緯90度)~+90度(北緯90度)の範囲で動いた軌跡も、
φが-180度(西経180度)~+180度(東経180度)の範囲で動いた軌跡も、
地球の中心から見れば、それは全て地表(球の表面)での動きですから、r(半径方向)に対して垂直です。

球の表面積は、4πr^2 だとわかっているとすると、
球の体積は、半径ゼロから半径rまでの薄皮の球の表面積の集合ですから、
∫4πr^2・dr = 3分の4 × πr^3
となります。
つまり、表面積が既知であれば、球の体積は簡単に求まります。

ですから、先に球の表面積を求めるのが重要になります。

θとφの取るべき範囲は上述したとおりですが、度の単位をラジアンに書き直しますと

θの範囲:-90度~90度 → -π/2~+π/2
φの範囲:-180度~+180度→ -π~+π


θ(緯度)を固定して考えますと、φを-π~+πの範囲で振れば、φの軌跡は円になります。
その、一つの円の半径は、r・cosθ
したがって、一つの円周は、2πr・cosθ です。
球の表面は「一つの円周」の集合体ですから、
この円周を、θ=-π/2~+π/2 の範囲で積分すれば、球の表面積になるはずです。
円周の太さは、微小なθ幅rdθです。

表面積を求めるのですから、rは固定です。

∫2πrcosθ・rdθ = 2πr^2・∫cosθ・dθ
 = 2πr^2[sinθ]
 = 2πr^2・(1-(-1))
 = 4πr^2 = 球の表面積

表面積が 4πr^2 だとわかったので、上に書いたとおり、体積は 4/3・πr^3 です。

こんにちは。

高校の2~3年で習う微分(びぶん)、積分(せきぶん)、三角関数(さんかくかんすう)の知識が必要です。
以下は、過去にある質問に対して私が書いた回答の一部を抜粋・再編集したものです。
イメージがわかりやすいように地球儀にたとえて、普通の数学の本などとは一味違った説明をしています。

これでも難しく感じるかもしれませんが、意味がわからなくても何となくイメージが湧けば、一歩前に進めたことになります。

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私は文献等を参照にしていま...続きを読む

Q楕円形の面積の求め方教えてください。

長径α、短径βの楕円形(平面)の面積の求め方を教えていただけませんか。できれば、証明方法も教えていただければ、幸いです。

Aベストアンサー

#1です。
>ではもし、楕円形の中心角50度分の面積を知りたい場合はどうすればよいのですか?

その中心角の範囲によります。
長径から50°だったら比較的簡単です。

圧縮前の円と、圧縮後の楕円を図にかいてみてください。
圧縮前の角度をθとすれば
 (αcosθ)tan50°=(αsinθ)×(β/α)
が成り立ちますから、αtanθ=tan50°より
 θ=atn{(tan50°)/α} ←atnはtanの逆関数です。
となります。
圧縮前の扇形の面積はπα^2×(θ/360°)ですから
圧縮後の楕円の一部の面積はπαβθ/360°つまりπαβatn{(tan50°)/α}/360°となります。

短径から50°の場合も同様に考えれば可能です。
中心角の両端が短径や長径に一致していない場合は面倒だと思いますが、上に書いた方法を応用すれば可能です(ただし中心角だけでは求められません)。

Q球の表面積と体積の公式の関連性について

球の表面積=4πr^2  …(1)
球の体積=(4/3)πr^3 …(2)
ですが、
(1)→(積分)→(2)
(2)→(微分)→(1)
という関係が成り立ちますね。これって単なる偶然ですか?それとも必然ですか?
もし必然ならどうしてこうなるのかわかりやすく教えてください。

Aベストアンサー

>それとも必然ですか?

必然です。

半径10cmの球の体積は、半径0cm~半径10cmの球の表面積をすべて足した値になります。

「半径0cm~半径10cmの球の表面積をすべて足す」のは「積分」と同じですから

>(1)→(積分)→(2)

になって当然です。ならないと困ります。

微分は積分の逆ですから、

>(2)→(微分)→(1)

になって当然です。ならないと困ります。

Q平面と楕円体との距離の最小値を求めたいのですが・・・・

平面ax+by+cz=d

楕円体x^2/16+y^2/4+z^2=1
について、

平面と楕円体の距離が最小となる時の楕円体上の点の座標を求めよ
というものです。

初めにラグランジュの乗数法を用いて解こうとしましたが混乱してしまいました。
求める座標をx,y,zとして

(x-X)^2+(y-Y)^2+(z-Z)^2-λ(x^2/16+y^2/4+z^2-1)=0
(ただしX,Y,ZはaX+bY+cZ=dを満たすもの)

から、x,y,z,λで偏微分して連立しようとしました。
平面ではなく点なら簡単だったのですが、こういう場合はどうやって
x,y,zが求まるのでしょうか。それとも他に簡単な解法があるのでしょうか。もしありましたら教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

楕円体x^2/16+y^2/4+z^2=1 上の点(p,q,r)での接平面の式は、
px/16+qy/4+rz=1

この接平面と平面ax+by+cz=dとが平行になるとき、平面と楕円体の距離が最小になります。

よって、
p^2/16+q^2/4+r^2=1
p/a=q/b=r/c
の連立方程式から、p,q,rを求めます。

ただし、解は2つあるので、どちらの点の距離が小さいかを決める必要があります。

Q球の重さから表面積を求める方法は?

身体の表面積を求めるにはどのように計算したら良いのでしょうか?
条件としては、『体重54kg、比重1(水と同じ)、球形として考える』です。
(1)球の重さから半径rを出す。
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以上から計算を試みたのですが、(1)をどのように出せば良いのかが分かりません。使用する公式と計算方法を是非教えてください。

Aベストアンサー

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Q今日は、楕円の事で教えて下さい。楕円を書くには焦点が必要ですけど、焦点

今日は、楕円の事で教えて下さい。楕円を書くには焦点が必要ですけど、焦点の計算を教えて下さい、長軸1m、短軸0.5mの場合焦点の位置はどうなりますか?計算方法を教えて下さい。皆様宜しくお願いします( 一一)。。。

Aベストアンサー

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もうひとつは-√3/4だけ進んだ点です。
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参考URL:http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/quadratic/reference/ellipse.html

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 =2π∫r、0(r^2-x^2)dx
 =2π[r^2x-1/3x^3]r,0
 =4/3πr^3  と、公式が導き出せます。
表面積は、円周(2πr)の集合と考えられるので、換言すれば表面積を限りなく0に近づけたものと考えられるので、
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