ルジャンドルの多項式について

Question

これは、どのようなときに使い、どのような利点があるのでしょうか？

stomachman · Accepted Answer

No.2の補足に関する回答です。

> 他と比べて、具体的にどのような利点があるのでしょうか？

　実際上、「他」ってのはないと思います。微分方程式の解は数値じゃなくて関数です。その関数を数式で表した上で整理すれば、式の中にルジャンドル関数が勝手に出て来るんです。
　解を（式ではなくて）膨大な個数の数値の集まりによって「曲面が変化する様子を表現したデータ」として扱う数値解析においては、敢えてルジャンドル関数を使わないやり方もできるでしょう。その場合、何をするにも膨大な計算をやらなくてはならず、計算誤差の心配もつきまとう。式で表しておけば、そういう心配はなく、解の定性的な性質まで見通すことができます。

storm50 · Answer

すこし難しいかもしれませｂが

http://www.h5.dion.ne.jp/~antibody/harmonics.htm

http://mole.rc.kyushu-u.ac.jp/~akiyama/ko-gi/hydrogen.pdf

noname#20644 · Answer

＃５の者です。
分かり易く補足説明します。
ルジャンドル多項式の利用の一例です。
大きさが異なる電荷（プラスとマイナスが入り混じって）が多数分布している時、ある一つの点における電位は、（電荷）/（電荷までの距離） を全て足し合わせたもので表わされます。
その 1/（電荷までの距離） は、ルジャンドル多項式で表わすことができますので、大雑把には
（電位）={（電荷）×（ルジャンドル多項式）} の合計 となります（下に述べる R が 1 の時）。

この時、基準となる点と、考えている一つの点との距離(R)、及び分布している電荷(q_i)の位置（基準となる点との距離(r_i)と、それを基準となる点を中心として回転させて、考えている一つの点に向かう方向と一致する時の角度(θ_i)）が必要です。
文章では、長たらしくなりますが、式では簡単に、

V=Σ(i=1→N){Σ(l=0→∞)q_i×r_i^l×P_l(cosθ_i)/R^(l+1)}

と表わされます（P_l の l はエルです）。
r_i^l×P_l(cosθ_i) がルジャンドルの多項式の l 番目の項です。なお、N は電荷の数です。

noname#20644 · Answer

余弦定理を用いて求めた長さの逆数を、角度（θ）の余弦を変数として展開したもので、長さの逆数を表すものとして輸送理論、ポテンシャル理論などでしばしば使われます。

storm50 · Answer

量子化学などで使います。

motochan7185 · Answer

L^2空間の直交基底として利用できます。

stomachman · Answer

物理で必須。球の表面の振動モード（帯球面関数）やラプラス方程式（距離の２乗に反比例する力が作るポテンシャル）の一般解の表現などに活躍します。

mmk2000 · Answer

このサイトなどはいかがでしょう？

参考URL：http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/mondai/node25.html

ルジャンドルの多項式について

No.2の補足に関する回答です。

すこし難しいかもしれませｂが

＃５の者です。

余弦定理を用いて求めた長さの逆数を、角度（θ）の余弦を変数として展開したもので、長さの逆数を表すものとして輸送理論、ポテンシャル理論などでしばしば使われます。

量子化学などで使います。

L^2空間の直交基底として利用できます。

物理で必須。

この回答への補足

このサイトなどはいかがでしょう？

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