確率・同時に起こるから、かける（×）？

Question

確率・同時に起こるから、かける（×）？
確率で、同時には起こりえない事象同士の確率を足したりするのは感覚的に分かりますが、同時に起こるからかける、というのがなぜなのかよく分かりません。
「Aが起こってなおかつBが起こる確率」は、なぜ「Aが起こる確率とBが起こる確率をかける、乗算する」と求まるのですか。わかりやすく説明してほしいです。

LTCM1998 · Accepted Answer

たとえば，Aが起きる確率を2分の1，Bが起きる確率を3分の1としてみましょうか。

ここで，「AとBには関係がない」(独立)という前提が入ります。
もし，独立でない，すなわちAとBに関係があるとどうなるか？
たとえば世論調査やアンケートで，コンピュータに適当な数字を作らせて，電話番号を作ることがあります。実際に，新聞の世論調査では多く使われています。人間が作るとどうしても03-1234-5678みたいに作った人のクセが出てしまうから，コンピュータに乱数を作らせます。
今回は，090-以降の番号を作ってみたとします。
こうやって作った電話番号はデタラメなので，かけてみても「現在使われておりません」かもしれないですよね。私みたいに電話が鳴っても気が乗らないと出ない不届き者もいるでしょう。
そこで，かけてみて実際に人が出る確率をXとしておきましょう。
肝心のアンケートの内容ですが，新しく日本に進出したい企業が，携帯電話の利用率を聞きたかったとします。
その問1が「携帯電話を持っていますか？」で，「はい」の確率Yはいくつか？
……ちょっと待て，090はじまりの番号にかけてるんだから，絶対持ってるだろう!って思いませんか。
こういう場合は，そもそも2つの事象に関係がある(ここでは090より後の番号をXで作っているからYは絶対成り立つに決まっている)ので，「確率だからかければいい」わけではなくなります。この例ならYは1です。

さて，独立の条件を満たすものとして，よく使われるのはサイコロやコインですね。
いっぺんに投げても，順番に投げても，「隣のコインが裏だったから俺は表になってやろう」なんて意思をもったコインはないので，相互に関係はありません。

これがトランプや数字のカードだと，1枚抜いたときに残りの枚数が変わってしまっているので，後が変わってしまいます。その場合は「抜いた後に戻す」作業が必要です。
よく生徒にブラックジョークで話すんですが，「カードを抜く」よりも「出てきた人を射殺する」というほうが分かりやすいです。射殺しちゃうと，生き返るはずがないから，残りの人数が変わりますよね。
「抜いて戻さない」場合は独立の条件には合わないので，単純に掛け算ではないわけです。

前置きが長くなりましたが，独立の条件を満たす場合は，相互に関係がないことが分かっているのですから，Aを午前，Bを昼休みの後というように時間を変えてやってもいいわけです。
そこで，一度に考えるよりもばらして考えようという考え方が使えます。

冒頭に戻ると，Aが起きる確率が2分の1，Bが起きる確率が3分の1でした。
Aが起きる確率が2分の1ということは，経験の面に翻訳して言えば，600回やったら300回起こるということです。
(厳密に言うと，現在の確率はこうした「経験的確率」ではなくて「公理論的確率論」となっていますが，大学数学でしか扱わないので無視しておきます)

AB全部やっておくとするとどうなるか？を考えると，
A○　B○　：OK
A○　B×
A×　B○
A×　B×
の4パターンが考えられます。
ここで，Aが○になる確率が2分の1＝次のBの実験に進める確率が2分の1です。
トーナメント方式みたいなもので，Aで勝たなきゃ先に進めないと思えばいいです。
次の「決勝戦」であるBでは，確率が3分の1でした。とすると，決勝戦を300回やったら100回勝てるということになります。

では，Aをクリアして，決勝戦Bでも勝つのは？というと，Aをクリアするのが確率2分の1で，600回やって300回でしたから，
600回やって300回はAをクリアして決勝戦進出です。
では決勝戦Bは？というと，上に書いたように300回やって100回勝てるのですから，
300回Aをクリアして決勝戦に出られれば100回優勝，ですね。
これを通しで見直してみると，全部で600回やって決勝戦まで勝つのが100回だった，となります。

もちろん，独立であるという前提を置いているので，ひねくれて(?)，Bから手をつけてもOKです。別に後のものからやってはいけない，なんてことはありません。もし後のものからやってダメだったら，独立の条件を満たしていないことになります。

分数の掛け算でも似た考え方をしたと思います。
さっき食べたので例に出しますが，スイカを2分の1に切って，さらに3分の1にすると，全体の何分の一になるか？といえば，6分の1ですよね。
高校の数学向けに説明しなおせば，このスイカ1個が全事象です。Aで半分は次へ進める。Bで3分の1が当たり。とすると，ABの共通部分は6分の1ですね。

zakire · Answer

「Ａという事象が起こりかつＢという事象が起こる」といった場合、全ての事象のうちからＡが起こらない場合が排除されます。これがＡの確率と考えてください。Ａが起こるという条件を満たしている事象のうちからＢが起こらない事象を「さらに」排除します。これがＢの確率をかける理由です。

alice_44 · Answer

そうとは限りません。乗算すると求まる場合も、他の計算が必要な場合もあります。
「A が起こってなおかつ B が起こる確率」が「A が起こる確率と B が起こる確率をかける」と求まる場合を、
『事象 A と事象 B は独立である』と言います。
A と B が独立であるか否かは、計算する前に、問題の状況設定を確認することが必要です。

akiya-423 · Answer

大きさの違う2つのサイコロを振って、大きいサイコロは2か3、小さいサイコロは2か3か4が出る確率を求めます。

まず、サイコロ2つの出る目の出方全てについて考えます。

まず、大きいサイコロは1から6の6通りの目の出方があります。
小さいサイコロにも同じことが言えますね。

サイコロの目の出方は、大きいサイコロの一つの目それぞれについて、小さいサイコロの目の出方は6通りあります。
例えば大きいサイコロの目 1については
(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)の6通り。
２については
(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)の6通り。
3から6についても同じことが言えます。

大きいサイコロ1つの目に対して、小さいサイコロは6通りの目の出方があるので、まず6通り。
さらに、大きいサイコロは6通り目の出方があるので、6×6＝36通り。

同じように、大きいサイコロは2か3で、小さいサイコロは2か3か4の場合は、
大きいサイコロの目の出方は2通り。その1通りずつに、小さいサイコロの出方は3通りあるので、2×3＝6通りです。

よって、36通り÷6通りで確率は1/6です。

長くなって申し訳ありません。
私には最後事象を分数で割るのがなぞだったりします。
「確率 サイコロ 表」や「確率 樹形図」で検索すると、より一層分かりやすいのが見つかるかもしれません。

taro999009 · Answer

そのまんまです。
８０の中の８０％は６４、２０％は１６。
２０の中の８０％は１６、２０％は４。

すごくわかりやすい概念だと思いますが

yksw618 · Answer

それは、世の中で『同時に起こる』という事象があまりにも少ないからです。

例えば、「袋の中から同時に２つの球を取り」とかいう問題がありますよね。

問題には確かに「同時に」と書かれていますが、実際には親指で一つ目の球を既に選んでいて、その後に中指でもう一つの球を選び、同時に引き抜く。

そんな感覚なのです。

ですから、同時ではなく実際には時差がある。

そう考えると楽ですよ。

確率・同時に起こるから、かける（×）？

たとえば，Aが起きる確率を2分の1，Bが起きる確率を3分の1としてみましょうか。

「Ａという事象が起こりかつＢという事象が起こる」といった場合、全ての事象のうちからＡが起こらない場合が排除されます。

そうとは限りません。

大きさの違う2つのサイコロを振って、大きいサイコロは2か3、小さいサイコロは2か3か4が出る確率を求めます。

そのまんまです。

それは、世の中で『同時に起こる』という事象があまりにも少ないからです。

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