円と楕円について

Question

円x^2+y^2=25をx軸をもとにしてy軸方向に3/5倍に縮小すると,どのような曲線になるか？？

円周上の点Ｑ（s,t)が移された点をP(x,y)とするとx=s,y=3t/5
よってs=x,t=5y/3
s^2+t^2=25であるから　x^2+(5y/3)^2=25
ゆえにx^2/25+y^2/9=1
すなわち,楕円x^2/25+y^2/9=1になる。

教えてほしいところ
例えx^2/a^2+y^2/b^2=1の形になってもa>b>0でないと楕円にはなりませんよね。
a>b>0である保障はどこにあるんですか？？

Ishiwara · Accepted Answer

「元の円をタテ方向に（3/5）倍にする」は「タテ方向に（5/3）倍にすると元の円になる式を考える」ということです。
ですから、
x^2+((5/3)y)^2=25
とすれば終わりです。
あとは、両辺を25で割っても割らなくても、表現方法の問題に過ぎません。

なお、0<b<aでも0<a<bでも楕円になりますよ。しかし、この問題では「考える必要なし」です。これは「タテに細長い」か「ヨコに細長い」かの問題であって、ここでは「回答者の知ったことではない」からです。

alice_44 · Answer

a > b > 0 を補償する必要はありません。
補償しなければならないのは、
a ≠ 0 ≠ b であることだけです。

その条件下に、x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 は、
長軸 max{ 2|a|, 2|b| }、
短軸 min{ 2|a|, 2|b| }　の楕円になります。

info22_ · Answer

>x^2/25+y^2/9=1
(x^2)/(5^2) + (y^2)/(3^2)=1…(★)
これは長半径a=5(X軸方向の半径),短半径b=3（y軸方向の半径）の楕円の方程式です。

>例えx^2/a^2+y^2/b^2=1の形になってもa>b>0でないと楕円にはなりませんよね。
いいえ、そうではありません。
>a>b>0である保障はどこにあるんですか？？
保証は必要ありません。
a>b>0なら横長の楕円、b>a>0なら縦長の楕円になるだけです。

楕円の標準形の(★)の式について
25=5^2の平方根±5の正の方をX軸方向の半径a=5と定めます。
また、9=3^2 の平方根±3の正の方をY軸方向の半径b=3と定めます。
a>bなので、X軸方向の半径a=5の方が長半径、Y軸方向の半径b=3の方が短半径の楕円になります。

naniwacchi · Answer

こんばんわ。

＞例えx^2/a^2+y^2/b^2=1の形になってもa>b>0でないと楕円にはなりませんよね。

逆に、a＜ 0、b＜ 0であっても a^2＞ 0、b^2＞ 0ですよね。＾＾
「関数として表す」上では、a＞ 0、b＞ 0である必要はありません。

ただし「楕円の長軸、短軸」というときには「長さ」なので、
それらを表す量としてはともに正でなければなりません。

そして、a＝ bのとき、図形は円となって、これらの長さは「半径」と呼びます。

tmpname · Answer

別にaが負であっても-a = AとおくとAは正で
a^2 = (-A)^2 = A^2であるから、初めから
aは正であるとおいて構わないですよね
（もちろんa=0では困ります）

それにb>a>0でも楕円になります

「元の円をタテ方向に（3/5）倍にする」は「タテ方向に（5/3）倍にすると元の円になる式を考える」ということです。