球表面の微小面積について

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質問者：sekihoutai
質問日時：2011/01/11 18:55
回答数：2件

球表面の微小面積は球の半径をaとすればdS=2π(a^2)sinθdθと表されるようですが，なぜこのように表されるのかイメージがよくわかりません．
また教科書にはどこの角度をθとしているのかが書かれていないため困っています．
円環を足し合わせていくイメージですか？

またdS=2π(a^2)sinθdθを認めた場合に，これを球面全体について積分すれば球の表面積が得られるわけですよね？
S=∫dSとしたとき，積分範囲を0→πとすれば球の表面積が得られますが，なぜ0→πなんでしょうか？

結果としては0→πが正しいとわかりますが，私のイメージでは，これでは半球の表面積しか求められていないように思えます．
しかし球の表面積が求められているんですよね？

イメージがよくつかめないです…．

回答をよろしくお願いします

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回答 (2件)

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No.1ベストアンサー

回答者： noname#137826
回答日時：2011/01/11 21:13

円環を足し合わせるイメージであっています。

θは天頂角でしょう。地球でいえば、北極が0、赤道がπ/2、南極がπです。この時、天頂角θの円環の幅はadθ、半径はasinθになります。したがって、円環の長さは2πasinθですので、面積dS=2πa^2sinθdθとなります。

θが天頂角であることがわかれば、積分範囲が0からπまででよいことはおわかりになると思います。