数学？算数？軽いコインを探す問題

友達に出されたコインの問題がわからなくて困っています。友達は問題を出すだけで答えを言わず去っていってしまいました。(汗)
得意な方、わかりやすい解説を含め模範解答をお願いいたします。

友達の出した問題はこのような問題でした。

「10枚のコインがある。このうちの2枚が軽く、他は同じ重さである。
はかりのAの皿、Bの皿の両方にコインを3枚ずつ載せたらAの皿の方が軽かった。(ちなみにこのとき、まだはかりに載せていないコインは4枚。)

では、あと最低何回はかりを使えば確実に軽いコイン2枚を断定できるか。」

以上です。
文系なので、本当にわかりやすくご教授していただたら幸いです！！

No.4 ベストアンサー 回答者： momordica 回答日時： 2011/01/23 02:22

軽い２枚が同じ重さでないかもしれない場合でも使える方法で。

軽い２枚が同じ重さでない可能性がある場合、最初の試行で確実に言えることは、
軽かったAの皿の３枚のうち少なくとも１枚が軽いということだけです。

（１）Bの皿の３枚はそのままにして、Aの皿の３枚をおろし、まだのせていない
　　４枚のうちの３枚をAの皿にのせる。　
　　├→・釣り合った場合
　　│　　　ここで乗せた６枚の中には軽いコインは無いので、最初にAにのせた
　　│　　　３枚とまだ乗せていない１枚の計４枚のうち２枚が軽いということ。
　　│　　（２）４枚のうち２枚を１まいずつAとBの皿にのせる
　　│　　　├→・釣り合った場合
　　│　　　│　　　ここで乗せた２枚が両方軽いか、両方軽くないかのどちらか
　　│　　　│　（３）（２）でのせた２枚のうちの１枚をAに、（２）でのせなかった
　　│　　　│　　　　２枚のうちの１枚をBの皿にのせる。
　　│　　　│　　　├→Aの方が軽かった場合
　　│　　　│　　　│　　　　（２）でのせた２枚が軽いコイン。
　　│　　　│　　　└→Bの方が軽かった場合
　　│　　　│　　　　　　　　　（２）でのせなかった２枚が軽いコイン。
　　│　　　└→・釣り合わなかった場合
　　│　　　　　　　軽いほうの１枚は、軽いコイン。あと１枚は残り３枚のうちの１つ。
　　│　　　　　　（３）残り３枚のうち２枚を１枚ずつをAとBの皿にのせる
　　│　　　　　　　├→・釣り合った場合
　　│　　　　　　　│　　　（３）でのせなかった１枚が軽いコイン。
　　│　　　　　　　└→・釣り合わなかった場合
　　│　　　　　　　　　　　　軽かった方のコインが軽いコイン。
　　└→・釣り合わなかった場合
　　　　　　　軽いコインは、（１）で軽かった方の３枚の中の１枚と、最初にAにのせた
　　　　　　　３枚の中の１枚
　　　　　　（２）（１）で軽かった皿の３枚のうち２枚を１枚ずつAとBの皿にのせる
　　　　　　　├→・釣り合った場合
　　　　　　　│　　　（２）でのせなかった１枚が軽いコイン。
　　　　　　　│　（３）最初にAにのせた３枚のうち２枚を１枚ずつをAとBの皿にのせる
　　　　　　　│　　├→・釣り合った場合
　　　　　　　│　　│　　　（３）でのせなかった１枚が軽いコイン。
　　　　　　　│　　└→・釣り合わなかった場合
　　　　　　　│　　　　　　　軽かった方のコインが軽いコイン。
　　　　　　　└→・釣り合わなかった場合
　　　　　　　　　　　　軽かった方のコインが軽いコイン。
　　　　　　　　　　（３）最初にAにのせた３枚のうち２枚を１枚ずつをAとBの皿にのせる
　　　　　　　　　　　├→・釣り合った場合
　　　　　　　　　　　│　　　（３）でのせなかった１枚が軽いコイン。
　　　　　　　　　　　└→・釣り合わなかった場合
　　　　　　　　　　　　　　　　軽かった方のコインが軽いコイン。

ということで、やはりあと３回で軽いコイン２枚が特定できます。

この回答へのお礼

．．．むちゃくちゃわかりやすいです！

わざわざ矢印なんかも引っ張っていただいて．．。本当に手間のかかったことと思います。
本当に数字ダメダメな文系人間にもわかりやすく出来ています。

ありがとうございました！！

お礼日時：2011/01/23 10:35

No.3 回答者： nag0720 回答日時： 2011/01/23 01:28

＃２です。

＃１さんの回答のとおり、あと３回で軽いコインを断定できますが、
２回では無理という証明を。


10枚のうちの2枚が軽いので、その組み合わせは４５通りあります。

１回のはかりを使ってAが軽い場合、４５通りのうち、
軽いコインがAの中に２個ある場合＝３通り
軽いコインがAの中にが１個、載せていないコインの中に１個ある場合＝３×４＝１２通り
計１５通りに絞られます。

１回のはかりを使うと、Aが軽い、Bが軽い、つりあうの３通り、
２回はかりを使うと、３×３＝９通り、
３回はかりを使うと、３×３×３＝２７通りの組み合わせになります。

あと２回のはかりでは、はかりの状態の組み合わせ９通りしかないので、１５通りを識別することはできません。
よって、最低でも３回はかりを使う必要があります。

この回答へのお礼

とてもわかりやすいです！
そして＃１さんのアンサーと組み合わせるとよりわかりやすいです！

これを自力で解けるように頑張ります。本当にありがとうございました。

お礼日時：2011/01/23 10:28

No.2 回答者： nag0720 回答日時： 2011/01/23 00:23

軽い２枚は同じ重さなんでしょうか？

それともその２枚にも重さの差があるんでしょうか？

それによって答えは変わります。

この回答へのお礼

そうですよね。省略してしまい申し訳ございません。

軽いコインの重さは同じです。

本当にこの手の問題は頭が痛くなるので、数字苦手な文系でもわかるような解説をしていただけたらありがたいです。
よろしくお願いいたします。

お礼日時：2011/01/23 00:53

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2011/01/23 00:15

三枚ずつ乗せた状態・・・（ア）でＡの皿の方が軽い状態は

（１）軽いコインが二枚ともＡの皿にある。
（２）軽いコインのうち一枚がＡの皿にある。
のいずれかです。

ここで、上記の六枚を一旦皿から下ろし、残る４枚を二枚ずつに分けてさらに載せます。・・・（イ）
もし釣り合えばこの四枚の中に軽いコインはない事が判ります。その場合は上記の（１）なので、（ア）でＡに乗せていたうちの二枚を左右のさらに載せます。もし釣り合えばその二枚が軽いコイン、釣り合わなければ軽いほうの皿に乗っているコインと、皿に載せていないコインが軽いコインです。

（イ）で釣り合わない場合、軽いほうの皿に乗っている二枚を左右に分けて皿にのせると軽いコインの一枚を発見できます。もう一枚は（ア）でＡの皿にあったうちの二枚を左右に分けて載せます。もし釣り合えばその二枚が軽いコイン、釣り合わなければ軽いほうの皿に乗っているコインと、皿に載せていないコインが軽いコインです。

この回答へのお礼

なるほど！わかりやすいです。
では、あと三回のせれば確実に断定できるんですよね？(あってますか？)

私が頭を悩ましても断定できなかった問題をこうもあっさりと解けるなんて羨ましいです。
丁寧に解説いただき本当にありがとうございました。

お礼日時：2011/01/23 00:50