研削加工 接触孤の長さ計算に関して

研削加工について学習しているのですが
分からない点があるので質問させて頂きました。

接触弧の長さは以下の近似式であらわされます。
　　L=√(t/(1/D+1/d))
但し、L:接触弧の長さ
　　　t:砥石切り込み深さ
　　　D：砥石の直径
　　　d:工作物の直径

また、平面研削での接触孤は以下の式
　　Ｌs=√a×Ds
a：切り込み
Ds：砥石径

で表すことが出来るとありますが、この計算式に至るまでの
過程が分からず困っています。
図および計算過程の詳細を教えて頂きたいです。

宜しくお願いします。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2011/11/07 23:27

切削工学の用語は分からないが、ま、推測はつきます。

前半は、砥石も工作物(ワーク)も円形であって，ワークはゆっくり，砥石は高速で回転している，という話ですね．（図は自分で描いて下さいな）
[1] 削る前のワークは円形です．その中心を点Aとしましょう．砥石の中心を点Cとすると、
ACの距離 = D/2 + d/2 - t
である。砥石の外形の円Cとワークの外形の円Aとが重なり合っていて，重なり合った部分のレンズ形の一番厚いところの厚みがt．さて、線分AC上に、Cから(D/2)の距離のところに点Hを置きます．（従って、Hは円周C上の点です．）
[2] 上記の二つの円の交点の一方をBとし，これが接触弧の一端であるとしましょう．角HCBの大きさをθ(単位:ラジアン)とします．接触弧の長さLとは，すなわち砥石がワークに喰い込んでる部分の長さですが、削り終わった部分は接触弧には含まれないということに注意すると, Lは円Cの円周に沿ったBからHまでの弧です．従ってその長さは(砥石の半径)×θである．だから，
L=(D/2)×θ=Dθ/2
[3] さて、BからACへ下ろした垂線の足をEとすると
CEの長さ=(D/2)cosθ
BEの長さ=(D/2)sinθ
また、角CABの大きさをφ(単位:ラジアン)とすると、
AEの長さ=(d/2)cosφ
BEの長さ=(d/2)sinφ
です。従って、
CEの長さ = (D/2)sinθ = (d/2)sinφ
という関係があります．
[4] ここで，θやφが小さいので，
sinθ≒θ, sinφ≒φ
という近似を使うと、
(D/2)θ ≒ (d/2)φ
より
φ ≒ (D/d)θ
と表せます．
[5] 一方，
CEの長さ+AEの長さ=ACの距離
だから、
(D/2)cosθ+(d/2)cosφ = D/2 + d/2 - t
ですが、θやφが小さいので，近似
cosθ≒1-(θ^2)/2
cosφ≒1-(φ^2)/2
を使うと，
D/2 - D(θ^2)/4 + d/2 - d(φ^2)/4 = D/2 + d/2 - t
整理して
D(θ^2) + d(φ^2) = 4t
[6] φ ≒ (D/d)θを使って
D(θ^2) + d(D^2/d^2)(θ^2) ≒ 4t
整理すると
(D^2)(θ^2)(1/D + 1/d) ≒ 4t
だから
(Dθ)^2 ≒ 4t/(1/D + 1/d)
よって
L = Dθ/2 ≒ √(t/(1/D + 1/d) )

[7] ワークが平面の場合には，d→∞とすれば良いわけで、
L = √(t/(1/D) = √(tD)

と、これでいいんじゃないかな？

No.1 回答者： noname#152422 回答日時： 2011/11/07 02:14

専門用語の説明をしてもらわないと答えようがないです。

数学カテで質問するなら、

接触弧、接触弧の長さ、砥石切り込み深さ、砥石の直径、工作物の直径、切り込み、砥石径

といった用語がどういう量のことなのか、あなたが図を描いて説明してください。