全微分や勾配ベクトルの幾何学的な意味

数学があんまり得意じゃないのに、今ライブラリを使って3Dのプログラミングで遊んでるんですけど

数学として、行列とか三角関数とか普通の微分とかは、座標系の回転だとか微分でキャラクタの進行方向の決定とか、直接使うのですんなりイメージできるんですけど

具体的な例で言うと全微分や勾配ベクトルってどういう場面でつかうんですか？教えてください、イメージできなくて困ってます。偏微分はあるパラメタにおけるニ変数関数の断面という理解は出来るんですが・・・

No.1 ベストアンサー 回答者： hashioogi 回答日時： 2012/02/18 09:23

数学の全微分の説明の所に良く絵が書いてあると思いますが、・・・

3次元空間xyzをイメージしましょう。xy平面をキャラクタが移動するとキャラクタの身長ｚが変化します。キャラクタの身長はz=f(x,y)で決まります。キャラクタが現在(x0,y0)にいます。するとそこでの身長はz0=f(x0,y0)で求められます。(x0,y0)からx軸に平行に微小量Δxだけ移動するとキャラクタの身長はどれだけ変化するかというとδf(x,y)/δx・Δxだけ変化します。つまり、z0からz0+δf(x,y)/δx・Δxになるというわけです。(x0,y0)からｙ軸に平行に微小量Δyだけ移動するとキャラクタの身長はどれだけ変化するかというとδf(x,y)/δy・Δyだけ変化します。ではxもyも同時に微小量Δx、Δｙ変化したらキャラクタの身長はどれくらい変化するかというとδf(x,y)/δx・Δx+δf(x,y)/δy・Δyだけ変化します。
なぜx方向の変化量とy方向の変化量の単なる和で良いかというと、f(x,y)の微小な領域ではそこだけ見れば平面だとみなされるからです。地球は実は丸いけれども地域の地図は平面として売られているということです。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/02/18 13:21

勾配ベクトルの一次元版は 微分そのものです。

つまり、

y=f(x) のとき、x が Δx だけ微小変化した場合、２次以上の変化を無視すると
y の微小変化は Δy = (df(x)/dt)・Δx

勾配ベクトルの２次元版は山登りの坂のイメージです。勾配ということばは
ここから来ていて、坂の傾きと坂の方向を合わせたものが勾配ベクトルです。

坂にボールを置くと転がってゆく方向とは逆方向が勾配ベクトルです。

z=f(x, y) とすると、勾配ベクトルは grad f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)

x, y が Δx, Δy だけ微小変化した場合 z の微小変化は ２次以上の変化を無視すると
Δz = (∂f/∂x)Δx + (∂f/∂y)Δy

(Δx, Δy) = ΔX とすると Δz = (grad f)・ΔX

という形になり、一次元の場合と式がほぼ同じ形になります。
つまり勾配は微分を多次元に拡張したものなんです。