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複素平面上に集合を図示する問題で、

{ z : |z+i|<2|z-i| }

の図示の仕方が解答を見ても分かりません。
説明をして頂きたいので、よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

z=a+ibとすると、z+i=a+i(b+1)


|z+i|=√{a^2+(b+1)^2}
z-i=a+i(b-1)
|z-i|=√{a^2+(b-1)^2}
従って|z+i|<2|z-i|を満たすzの集合は、
√{a^2+(b+1)^2}<2*√{a^2+(b-1)^2}から
a^2+(b+1)^2<4{a^2+(b-1)^2}
a^2+b^2+2b+1<4(a^2+b^2-2b+1)=4a^2+4b^2-8b+4
整理して
0<3a^2+3b^2-10b+3
0<a^2+b^2-(10/3)b+1=a^2+(b-5/3)^2+1-25/9
=a^2+(b-5/3)^2-16/9=a^2+(b-5/3)^2-(4/3)^2
書き直すとa^2+(b-5/3)^2>(4/3)^2
従って{ z : |z+i|<2|z-i| }の集合は、
複素平面上の実軸a、虚軸bの直交座標系で、
点(0,5/3)を中心とする半径4/3の円の外側
ということになります。
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この回答へのお礼

複雑な計算を書いて頂いてありがとうございます。
とても分かりやすかったです。

お礼日時:2012/04/29 19:05

No.1です



激しく引き算間違ってた

-iとiを内分する点は (1/3)i
-iとiを外分する点は 3i
この二点を直径の両端にする円は
中心 (5/3)i 半径 4/3

求める領域は,その円の外側

申し訳ない.

この手の問題だが,
まず = の場合を考えれば境界がわかる

|z+i| = 2 |z-i|

これを
|z+i| : |z-i| = 2 : 1
とみなせば,これは
(zと-iの距離) : (zとiの距離) = 2 : 1
となる.

これはアポロニウスの円というもので(数Aとかで習ってる?)
外分する点と内分する点を直径の両端とする円を描く.

そして,円なので自己交差はしないので
平面そのものが,
円周・内側・外側に分かれる.
だから,例えば z=100iのような極端な値をいれて
|z+i| = 101
2|z-i| = 198
と計算すると,z=100iは求める領域の点だということがわかって
z=100iは明らかに「円周」の外側

ということで,求める領域がわかるというわけ.

複素平面で領域を考えるときは,
幾何的な意味合いを考えると計算がすくなくすむ.
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この回答へのお礼

失礼な質問の仕方をしてしまってすみません。
計算から求めようとしていたので、アポロニウスの円のように幾何的に考えるという発想がなく、とても参考になりました。
ありがとうございます。

お礼日時:2012/04/29 19:04

その「分からない解答」の何が分からないのか


ほかの人にはわからんでしょうに.

まったくゼロからほかの解答をしりたいの?

とりあえず,簡単に.

アポロニウスの円を考えて
iと-iを内分する点(2/3)iと
外分する点3iを直径の両端とする円(つまり,(11/6)iが中心,半径7/6の円)
内部(境界を含まない)が
求める領域

ってところかな.
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