No.2ベストアンサー
- 回答日時:
√10800/mが整数となるということは、
10800/mが、ある自然数の二乗になること。
まずは10800を因数分解しておく。
10800=2×2×3×3×3×10×10
=2×2×2×2×3×3×3×5×5
=3×(2^2)×(2^2)×(3^2)×(5^2)
ここからわかることは、
mの因数に、少なくとも3が一つ含まれている必要がある。
またそれ以外の因数を含む場合は、
括弧でくくったように二乗ごと含む必要がある。
含むか含まないかで考えた場合
(2^2)は二つあるので、
含まない場合、1つ含む場合、2つ含む場合 の3通り
(3^2)は含む場合と含まない場合で 2通り
(5^2)も含む場合と含まない場合で 2通り
よって条件を満たすような個数は、これらの掛け合せの
3×2×2=12通り
と考えられる。
確認のためすべてを書き出してみる。
f(m)=√10800/m とすると、
m=3 、f(3)=√3600=60
m=3×(3^2)=27 、f(27)=√400=20
m=3×(5^2)=75 、f(75)=√144=12
m=3×(3^2)×(5^2)=675 、f(675)=√16=4
m=3×(2^2)=12 、f(12)=√900=30
m=3×(2^2)×(3^2)=108 、f(108)=√100=10
m=3×(2^2)×(5^2)=300 、f(300)=√36=6
m=3×(2^2)×(3^2)×(5^2)=2700 、f(2700)=√4=2
m=3×(2^4)=48 、f(48)=√225=15
m=3×(2^4)×(3^2)=432 、f(432)=√25=5
m=3×(2^4)×(5^2)=1200 、f(1200)=√9=3
m=3×(2^4)×(3^2)×(5^2)=10800 、f(10800)=√1=1
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