NHKドラマ「ハードナッツ！～・・・」の確率

「ハードナッツ！～数学ｇｉｒｌの恋する事件簿～」第二話にて、登場人物の一人が一万人に一人がかかるという（おそらく架空の）不治の難病に、検査精度99.9％の検査で陽性と判定された、とのこと。

その検査結果に多少自棄になる登場人物に対して、主人公（数学ｇｉｒｌ）が、その検査結果で実際に病気なのは約十人に一人だ、と諭すのです。

その計算がどうも納得いかないので、諸氏の見解をご教授下さい。

彼女が言うには、

・10,000人検査したら、9,990人に正しい判定が下る。
・つまり、10人には間違った判定が下る。
・本当に病気なのは1万人にひとり。
・したがってその検査結果で実際に病気なのは約10人にひとり。

私は検査精度の確率の99.9％と、病気になる確率が1万人にひとり、というのは全く別のレイヤーの話だと思うのですが、間違っているのでしょうか？

No.1 回答者： since_1968 回答日時： 2013/10/28 19:38

病気である確率が１／１００００人と１／１０００人では

査精度の確率の99.9％の結果の意味がかわるとおもいますが

１／１００００人場合は
10,000人検査し、正しい結果が出て9,990人が陰性とされた場合

１／１００００人の場合は、不確定な１０人中１人
１／１０００人の場合は、不確定な１０人中１０人
の可能性あるってことだとおもいますけど。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

その病気にかかるのは全人口中1万人にひとり、という設定です。
私の説明のどこに1/1,000人というのがあるのでしょうか？

申し訳ありませんが、そのあとのご説明も私には理解できません。

補足日時：2013/10/28 21:40

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
A No.7さんのお礼にまとめて見解を述べます。

お礼日時：2013/10/29 21:20

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/10/28 20:17

検査精度が 99.9％ ってのは、何でしょう？

「精度」は、日常語で、統計用語としては未定義かと思います。
一応、以下のように解釈してみます。

検査の特異性(精度)　→　(検査陰性で実際に病気でない人の数)/(実際に病気でない人の数) = 99.9/100
検査の感度(精度)　→　(検査陽性で実際に病気である人の数)/(実際に病気である人の数) = 99.9/100
有病率　→　(実際に病気である人の数)/(総人口) = 1/10000.
知りたいのは、(検査陰性で実際に病気である人の数)/(検査陽性の人の数) の値です。

総人口の中で
検査陽性で実際に病気である人の割合を x,
検査陽性だが実は病気でない人の割合を y,
検査陰性だが実は病気である人の割合を z,
検査陰性で実際に病気でない人の割合を w
(x+y+z+w=1) と置くと、

w/(y+w) = 99.9/100,
x/(x+z) = 99.9/100,
x+z = 1/10000,
x/(x+y) = r.
この r の値が知りたい訳です。

連立一次方程式を解くと、
x = 999/10^7,
y = 9999/10^7,
z = 1/10^7,
w = 9989001/10^7.
よって
r = 999/(999+9999) ≒ 0.0908346…

病気である率は、数学girl が言うより
もっと少ないかもしれませんね。

＃ どーでもいいことですが、「数学girl」てのは
＃ 著作権的にどーなんですかね？

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

＞(x+y+z+w=1) と置くと、
＞
＞w/(y+w) = 99.9/100,
＞x/(x+z) = 99.9/100,
＞x+z = 1/10000,
＞x/(x+y) = r.
＞この r の値が知りたい訳です。

仰る意味はわかりました。

ただ、私が引っかかるのは

＞検査の感度(精度)　→　(検査陽性で実際に病気である人の数)/(実際に病気である人の数) = 99.9/100

とは思っていないのです。

仰る通り、「検査精度」という言葉は曖昧です。

私なりに検査の正しさを数値化するとしたら
(検査陽性で実際に病気である人の数)/(検査陽性である人の数) = 99.9/100
(検査陰性で実際に病気ではない人の数）/（検査陰性の数）= 99.9/100
ということだと“私は”認識します。

ですので、検査精度と罹患率は全然別の話なのに同じ土俵で計算してしまっているのではないか？という疑問を持っているのです。

補足日時：2013/10/28 22:02

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
A No.7さんのお礼にまとめて見解を述べます。

お礼日時：2013/10/29 21:20

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/10/28 22:25

どーなんでしょうね。

もともと「検査精度」という表現が意味不明な言い方なので、
どーとでも解釈することはできそうですが…

(検査陽性で実際に病気である人の数)/(検査陽性の人の数)
(検査陰性で実際に病気ではない人の数)/(検査陰性の人の数)
は、前記計算の如く、
検査対象となる人達の中での有病率によって
値が変わってしまうため、検査法固有の定数ではありません。

特異性と感度は、対象によらない検査法固有の値であること、
実験から算出するのが容易なことから、検査の正確さを表す
指標として日常よく使われています。「精度」という表現が
これらを指すとすれば、件の 数学girl の計算は概ね正しい
ということになります。

「精度」が (検査陽性で実際に病気である人の数)/(検査陽性の人の数)
を指すとすれば…　最初から、計算するまでもありませんが。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
A No.7さんのお礼にまとめて見解を述べます。

お礼日時：2013/10/29 21:21

No.4 回答者： tatata-0000 回答日時： 2013/10/29 08:24

全く別のレイヤーの話ということで合ってるでしょうね。

くるみは99.9％という数字を「（1万人に）10人には間違った判定が下る。」という検査精度の問題と、「本当に病気なのは1万人にひとり。」という実体的事実の問題を混ぜこぜにしてしまっています。

診断を受けた全員が「難病」の認定を受けたんでしょうか？たぶんそうではありません。「難病ではない」という認定を受けた人もたくさんいます。検査を受けた人が10000人いたとしたら、（10000人に1人の難病ですから、）たぶん難病の認定を受けた人はその中でたった1人だけでしょう。それが「一万人に一人の難病」の意味です。

検査精度の話が出てくるのはその後です。高良君はすでに「難病」の診断を受けました。「その診断が間違っている率が0.1％あるけどね」というのが「検査精度99.9％」の意味です。
たぶん彼は難病です。ただし、10000人に1人が「難病」の認定を受けますが、その難病認定を受けた人間のうち、1000人に1人は認定が間違っていて、実際は「難病」ではないです。ですから1000万人に1000人いる「難病認定者」のうち、1人は実際は難病ではないが、999人は検査結果どおり「難病」であるというのが、99.9％の意味と考えるべきです。

要は数学ではなくて国語の問題なんですよ。数学ガールとか言ってますが、くるみは実際はトンデモガールであり、単なるアホの子です。私もこのドラマが始まる前は、確率とかを中心に、「常識」とは違う意外な数学的事象を紹介しながら、数学的に社会現象を分析して事件を解決するようなお話なのかなと思っていたんですが、ポーカーのエピソードも結局「いかさまがあるから数学的分析は役に立たない」という方向で使われていることからしても、オタクガールが一般人には意味がよくわからない（「車を奪われた人が共犯者だ」とか、「（恣意的に数列を解釈して）暗号を解読した」とか、）ことを言いながら、直感的に事件を解決するだけの話になるようですね。
橋本愛はかわいいからそれでいいんです。次回もどんなトンデモ話が出てくるのかとても楽しみです！

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
A No.7さんのお礼にまとめて見解を述べます。

お礼日時：2013/10/29 21:21

No.5 回答者： redgarbera 回答日時： 2013/10/29 10:14

ここに１万人いてその中の9999人は健康、１人は病気だとしましょう。

そして全員が検査を受けたとします。
ここで「検査の精度が99.9％」というのは当然、「病気の人が検査を受けた場合そのうちの99.9％の人は陽性と判定され、0.1％の人は陰性と判定される。また、健康な人が検査を受けた場合そのうちの99.9％の人は陰性と判定され、0.1％の人は陽性と判定される」ということでしょう。
とすると、健康な9999人の99.9％つまり9989.001人は正しく陰性と判定され、0.1％つまり9.999人は誤って陽性と判定されるはずです。
また、病気の１人の99.9％つまり0.999人は正しく陽性と判定され、0・1％つまり0.001人は誤って陰性と判定されるはずです。
これを四捨五入して整数にすると、健康な9999人のうち9989人は正しく陰性とと判定され、10人は誤って陽性と判定されるはずです。
また、病気の１人のうち１人は正しく陽性と判定され、０人は誤って陰性と判定されるはずです。
ということは、この１万人のうち陽性と判定される人は11人、その中で本当に病気の人が１人、ということになると思うのですがいかがでしょうか。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
A No.7さんのお礼にまとめて見解を述べます。

お礼日時：2013/10/29 21:22

No.6 回答者： rinkun 回答日時： 2013/10/29 10:53

その検査が万人の受ける検査なら、主人公（数学ｇｉｒｌ）の見解は全く正しいです。

実際の健康診断でも同様に陽性(要精検)になる人の大半は全く問題ないわけですしね。
ただその検査が別の検査で陽性になって受けた検査だとするなら状況は変わります。
その場合は
・本当に病気なのは1万人にひとり。
というのは検査結果の確率とは別になりますから。
ドラマでの描写がどうなっていたのか気になります。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
A No.7さんのお礼にまとめて見解を述べます。

お礼日時：2013/10/29 21:22

No.7 回答者： takurinta 回答日時： 2013/10/29 10:54

10人に1人という結論自体はそれでいいように思います。

途中は雑ですが。

検査精度で感度と特異度を等しいとしていることがむしろ一般的ではなく、それらの値は異なっていることが普通です。
病気が重大なものであれば、見逃しを避けるために特異度を犠牲にすることもありえ、その場合は、むしろ、実際に病気である確率はもっと低い、ということになります。
また、逆にその病気の治療が侵襲性が高く、誤って診断することで取り返しのつかないことをしてしまう恐れがあるなら、特異度を上げて感度を犠牲にするかもしれません。その場合、陽性なら実際にその病気である確率が高いということになります。
感度を上げると特異度が下がり、特異度を上げると感度が下がるという関係があるため、そのバランスをどこで取るかが問題ですが、人口当たりの誤判定率を単純に下げる、という方法ではなく、病気の深刻さなどに応じて陽性/陰性のカットオフ値を決めるべきであると思います。

なお、この検査、全て陰性という結果を返すとすると、総人口あたりの誤判定率は1/10000=0.01%なので、検査精度99.99%となります。
という冗談はさておいて、99.9%というのが、ほとんど特異度に由来することになることがわかります。
まあ、感度は100%とおいても差し支えないでしょう。そうした上で、

・10,000,000人のうち、患者が1,000人、患者でない人が9,999,000人いる。
・1,000人の患者を検査したら、1,000人に正しい陽性判定が下る。
・9,999,000人の患者でない人を検査したら、9,989,101人に正しい陰性判定が下る。
・9,999人には誤って陽性判定が下る。
・陽性判定10,999人中本当に病気なのは1,000人。
・したがってその検査結果で実際に病気なのは約10人にひとり。

この回答へのお礼

医学的検査における感度と特異度の関係の話をやっと理解できました。
両方100％が理想だけれど、そうはならないし、感度と特異度が同じになることもあまり無い話なんですね。

で、私が思っていた「検査精度」というのが「陽性的中率」のつもりだった、ということですね。

今回の例で感度も特異度も99.9％とすると、陽性的中率(=真陽性の数/検査陽性の数)は約1/11にしかならない、ということがようやくわかりました。

勉強になりました。
皆さんありがとうございました。

お礼日時：2013/10/29 21:23

No.8 回答者： alice_44 回答日時： 2013/10/29 13:25

質問者の論点(A No.2「お礼」欄)は、

そこじゃないように思うが。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
A No.7さんのお礼にまとめて見解を述べます。

お礼日時：2013/10/29 21:23

No.9 回答者： foomufoomu 回答日時： 2013/10/30 02:38

これは、数学の世界では、わりあい有名な話です。

これまでに、十分に解説は出ていますが、
「患者の発生率がたいへん低い病気の判定では、そうとうな精度で判定できる検査法であっても、誤って陽性判定される人の数がたいへん多い」ということです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
なるほど、けっこう有名な話だったんですね。

A.No.2のご回答を読んだときに「検査の特異性」や「検査の感度」という用語をわざわざ出していただいたのに、ちゃんと調べもせず自分が受けた感覚の「検査の精度」という印象にこだわったために理解するのに時間がかかりました。

ドラマでは専門用語が使えなかったから「精度」という言葉を使ったのかもしれませんが、多分にミスリードする気もあったのでは？、とも思います。

件のセリフを起こすと、

男）
「俺はいつ死んでもおかしくないらしい。（中略）一万人にひとりがかかる難病だ。治療法はまだ見つかっていない。再検査を受けるように言われている」

主人公）
「じゃ、受ければ」

男）
「無駄だよ。知り合いの医者に聞いたら、俺が最初に受けた検査の精度は99.9パーセント。
再検査を受けたところで、間違ってる可能性は0.1パーセント」

というものでした。

その「知り合いの医者」の素人への説明のしかたが間違ってる、ということで。

お礼日時：2013/10/30 15:02

No.10 回答者： alice_44 回答日時： 2013/10/30 17:16

間違い率０.１％の検査で

１万人に１人の病気を
陽性者１０人に１人まで絞り込んだ
というと、桁は合ってる訳です。

「知り合いの医者」の説明も足りないが、
聞いた方の数学リテラシーにも問題が。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

まぁ、あの登場人物や私の数学リテラシーが不足しているのは仰る通りなんですが、素人目線から「貴方はある病気の可能性があると判定されました。その検査の精度は99.9パーセントです。」と言われたら、たとえその病気が10万人にひとりの病気だろうと、10人にひとりの病気だろうと、「99.9パーセント、私はその病気であることが間違いないのだろう。」と判断するのは、比較的自然なことのように思えるのですが・・・。

お礼日時：2013/10/31 20:23