物理の問題です。

野生動物数Ｎの減少が時刻Ｔに対して片対 数グラフで直線になるときこの現象を表す 微分方程式をたてて解を求め比例関係を示 せ。ただし比例定数をＫ、初期数をＮ０とす る。という問題のときかたを教えてください。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2014/01/31 21:19

＞Ｎの減少が時刻Ｔに対して片対 数グラフで直線になるとき

なんだか発想が全く逆ですね。

正しくは

「短い時間Δtの間の減少量ΔNは現在の量Nに比例する」とき、この現象(減衰方程式ということがあります。）を表す微分方程式をたてて解を求めよ。比例定数をKとする。これを式に表すと

ΔN=-KNΔt　　　(1)

-がついているのは時間とともに減少することからつけておくと処理が便利なことによります。

(1)より


ΔN/N=-KΔt　　　

微分方程式とみて、両辺を積分すると

log(N)=-Kt+c, N=Cexp(-Kt)

t=0でN=N0とするとC=N0

つまり

N=N0・exp(-Kt)

これが解です。

両辺の対数をとると

logN=-Kt+C

となり対数軸にNをとった片対数紙上で左下がりの直線になります。

No.2 回答者： Tann3 回答日時： 2014/02/01 02:11

　No.1の回答者さんのとおり、この問題は出題の仕方が変です。

　最初から「時刻Ｔに対して片対数グラフで直線になる」関係であることが分かっている、ということがおかしいのです。


　生物の場合は（人間も同じですが）、1匹（1人）の単位期間あたりの出生率がＫ1のとき、期間ΔＴあたりの出生数ΔＮ１は

　　　　ΔＮ１　＝　Ｋ１　×　Ｎ　×　ΔＴ

と表わせます。

　また、1匹（1人）の単位期間あたりの死亡率がＫ２のとき、期間ΔＴあたりの死亡数ΔＮ２は

　　　　ΔＮ２　＝　Ｋ２　×　Ｎ　×　ΔＴ

と表わせます。

　従って、期間ΔＴあたりの個体数の増減ΔＮは

　　　　ΔＮ　＝　ΔＮ１　－　ΔＮ２
　　　　　　　＝　（Ｋ１　－　Ｋ２）　×　Ｎ　×　ΔＴ　　　　（ａ）

ということです。ここで、

　　　　Ｋ１　＜　Ｋ２

であれば、死亡率が出生率を上回り、その動物数（人数）は時間経過とともに減少して行くことになります。
　このとき「Ｋ１－Ｋ２」は負になりますので、Ｋを正の値として

　　　Ｋ　＝　－（Ｋ１　－　Ｋ２）

と定義すれば、（ａ）の式は

　　　ΔＮ　＝　－Ｋ　×　Ｎ　×　ΔＴ　　　（ｂ）

となります。

　これをNo.1さんの回答のように解けば

　　　Ｎ（Ｔ）　＝　Ｎ０　×　ｅｘｐ（－ＫＴ）　　　（ｃ）

という時間Ｔの関数で表わした動物数Ｎ（Ｔ）が求まります。


　というように、目の前で起こっている「現象」を記述する（ａ）または（ｂ）の微分方程式が最初にあって、それを解いて（ｃ）式で表わされる、その動物数（人数）の時間変化が求められる、という順序で「現象が解明されて行く」ということだと思います。

　目の前で起こっている「現象」から直接「時刻Ｔに対して片対数グラフで直線になる」関係であると断定する、ということは、天才の直感によっても難しいものと思います。

　また、「時刻Ｔに対して片対数グラフで直線になる」関係から、その元となる微分方程式を作れ、というのも、本末転倒で無茶な設問だと思います。

No.3 回答者： foomufoomu 回答日時： 2014/02/01 02:12

自然現象を調べて方程式を作ろうとするときは、最初に、片対数か両対数の方眼紙にグラフを書いてみて、式の予想をたてることが多いです。

それ自体は、普通に行われる方法です。
ただ、この場合、なぜ、微分方程式が出てくるのか、不思議です。
片対数方眼紙の縦軸が対数目盛で、グラフ直線になるということは、すでに答えは出ているので。
http://majigaku.seesaa.net/article/378751295.html