統計学 標本分布

以下の問題が分かりません。

ある市の人口は200,000人であり，そのうち1/5が未成年であるという。200,000 人の中からランダムに 100 人を選んだところ, その中に含まれる未成年者の人数が 10 人 以下である確率の近似値を求めよ。

よろしくお願いします。

No.6 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2016/12/17 06:10

#1です。

私の最初のヒントを#４さんの指摘に基づき、修正させて下さい。

二項分布　→　超幾何分布

#4さんのご指摘、
> #３さんは、非復元抽出を復元抽出で近似しておられますので・・・

は、超幾何分布は、有限母集団のNが十分大きい時には、
二項分布に近似できる、ということをおっしゃっています。

No.5 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2016/12/17 05:38

#1,#3です。

#4様、ご指摘、ありがとうございます。
当方がうかっリしていました。
#4の値を支持します。

No.4 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2016/12/16 11:19

正確ではない回答が出たので、答を書きます。

Σ_{i=0 to 10} (160000 choose 100-i)*(40000 choose i) / (200000 choose 100)
= 0.0056871158454038…
です。

#３さんは、非復元抽出を復元抽出で近似しておられますので、
そのせいで、約１%大きさが違ってきます。

非復元抽出は、非復元抽出として計算した方がいいです。

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2016/12/16 01:59

#1です。

答まで書くつもりはなかったけど、
正確ではない回答が出たので、答を書きます。
計算はRでやっています。

p <- 0
n <- 100
for(i in 0:10){
px <- choose(n,i) * 0.2^i * 0.8^(n - i)
p <- p + px
}
p

0.005696381

#2さんは、連続分布への近似を使ってみえますので、
そのせいで、約１割大きさが違ってきます。

離散分布は、離散分布として計算した方がいいです。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/12/16 00:38

典型的な二項分布の問題です。

成人の確率：4/5
未成年の確率：1/5
ランダムに選んだ100人も、同じ比率とみなせます。

100人のうちの未成年者の人数は、
・期待値： 100 * (1/5) = 20
・分散　： 100 * (1/5) * (4/5) = 16
となります。これが両方とも「5以上」なので、正規分布 N(20, 16) として近似できます。
すると、この正規分布で標準偏差は
　σ = √16 = 4
となります。

「未成年者の人数が 10 人 以下」ということは、
　期待値 - 2.5σ 以下となる確率
ですから、標準正規分布表（例えば下記）から Z=2.5 の外側確率を読み取って、
　　0.00621
となります。
https://staff.aist.go.jp/t.ihara/normsdist.html

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2016/12/16 00:36

ヒントでいいですか。

未成年か、未成年でないか、ということですから二項分布です。
その確率質量（確率密度のようなもの）は、
P(x)＝C(n,x)・p^x・(1-p)^(n-x)

n＝100人中に未成年がx人現れる確率は排他ですから、
P(0)
P(1)
P(2)
・
・
・
P(10)
を求めて足せばよい。