この問題を解いてください。（幾何）

以下の図があります
大円と小円は接しています。
大円と小円の直径の合計は180cmです。
その接点を通る直線Aがあります。
大円の弦の中心から円周に向けて直角に赤辺が伸びています。
同様に
小円の弦の中心から円周に向けて直角に青辺が伸びています。
青辺と赤辺の合計は36cmです。
さて直線Aの長さは何cmでしょうか？
（出典　NHK番組　タイムスクープハンター）


解答だけでなく、解き方もご提示ください。

質問者からの補足コメント

• 

  >その接点を通る直線Aがあります。
  
  とは、図において大円と小円を貫いている右肩上がりの直線の事です。

    補足日時：2017/09/13 06:30

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/09/16 17:31

2つの円の中心を結ぶ線を描けば簡単です。

弦の中心から弦に垂直に円周までの距離Lは、円の半径をR、
接点で円と接する線と弦の成す角をθとすると

L=R(1-cosθ)

従って

(180/2)(1-cosθ)=36 → cosθ=3/5 → sinθ=4/5

線の長さ=直径の合計 x sinθ =144

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2017/09/17 08:41

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2017/09/14 21:12

大円の中心をＰ、小円の中心をＱとします。

赤辺の円周との接点をＭ，他方をＥとします。　Ｐ，Ｅ，Ｍ は一直線上にあります。
二つの円の交点と、ＰＱは１点で交わりますので、これをＳとします。

問題文では、大円・小円の大きさについての条件がありませんので、
大きさに拘らず答えが出ると思いますので、
最も計算しやすい、同じ大きさの円とします。

二つの円の直径の和が180㎝。→　一つの円の半径は45㎝。
赤辺と青辺は同じ長さになるので、36÷2で、各々18㎝づつです。
ＰＳ＝ＰＭ＝45，　ＰＥ＝ＰＭ－ＥＭ＝45－18＝27 。
求める線分の長さは、ＥＳの長さの4倍になる筈です。

△ＰＳＥ は直角三角形ですから、三平方の定理より
(ＥＳ)²+27²=45²　→　ES=√(45²－27²)=√14296＝36 で、
求める直線Ａの長さは、36×４=144 、１４４㎝ になります。

尚、二つの円が等しいとして計算しましたが、
（120㎝と60㎝）又は（150㎝と30㎝）としても、同じ結果になります。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2017/09/17 08:41

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2017/09/14 11:02

Ｎｏ２ です。

勘違いしていたようで、回答が間違っています。
すみませんが、これを無かった事にしてもらえませんか。

今は時間がありませんので、
午後にでも、もう一度挑戦してみます。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2017/09/17 08:41

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2017/09/12 20:34

直線Ａが、大円と小円の中心を通る時には、直線Ａの長さは180㎝で、

青辺と赤辺の合計は、大円と小円の半径の和になり、90㎝になります。

90：36＝180：Ａ ・・・ Ａ＝36×180÷90＝72 で、72㎝ ではダメすかね。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2017/09/17 08:40

No.1 回答者： diff3356 回答日時： 2017/09/12 20:23

円の半径をそれぞれ、R(大), r(小), 赤、青の部分の長さをそれぞれ、x, y とすると、

まず、条件より、R+r=90, x+y=36.
(R-x):(r-y)=R:r より、rx=Ry ⇔ x/R=y/r ⇔ x(90-R)=R(36-x) ⇔ x/R=2/5.
線分Ａの長さをＬとすると、
L=2√{R^2-(R-x)^2}*{r/R+1}
=(180/R)*√{R^2-(R-x)^2}
=180*√{1-(1-x/R)^2
=180*√{2(x/R) - (x/R)^2}
=144(cm).
となります。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2017/09/17 08:40