円の接線とその接点を通る半径は直交することを接弦定理を用いずに証明できますか？

円の接線とその接点を通る半径は直交することを接弦定理を使用して証明する例をよく見かけますが果たしてそれは正しいのでしょうか？

実は接弦定理の証明そのものが円の接線とその接点を通る半径は直交することを前提にしているのではないでのしょうか？

では、接弦定理を用いない証明方法はあるのでしょうか？ (できれば背理法も用いないで)
もしよろしければご教示くださいませ。

質問者からの補足コメント

• 1. いただいたご回答の中に数学I (それともAだったか？) の教科書に載っている図についての示唆がありました。 これは確かに円のどの半径に対しても成立する説明ではあります。 ただ教科書には図のみ掲載されており説明もましてや証明もなく、きちんとした模範解答を探してみます・・・
  
  2．背理法を用いたさまざまな証明が見られますが、あまりにも煩雑でよい証明とは言い難いです。
  
  3．接線の傾きといえば微分係数・・・ そして m・n = -1 となるほど図と計算による証明というのもまた興味深いです

    補足日時：2018/04/27 22:06

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2018/04/27 21:08

＞円の接線とその接点を通る半径は直交することを接弦定理を使用して証明する例をよく見かけますが・・・

本当ですか？　逆ではないですか。
接弦定理を証明するのに、円の接線とその接点を通る半径は直交することを、用いるのではないですか。

簡単に云うと、円の中心を通る直線(n)に、円の内側で垂直に交わる直線(m)を考えます。
通常は、この直線(m)は円と2点で交わります。
n,m の交点と円の中心との距離を円の半径と同じにすると、1点で交わる事になります。
此れが、接点です。元々直交している直線同士ですから、円の接線とその接点を通る半径は直交します。
こんな事を、中学校で習いませんでしたか。

この回答へのお礼

ご返答ありがとうございます。
ご指摘は正しいのですが、どうやら両者は「鶏が先か卵が先か？」的な半ば循環論法的な状態になっているようにも見受けられます。

他方、接弦定理を、円の接線とその接点を通る半径は直交するという前提にしない証明を見たことがないため
接弦定理をこの証明に援用することは適さないと考えます。

ご回答いただいた半径と直交する直線をずらしていくと… という説明は教科書にもそれを匂わせる図が載っていますが、それはあくまでも単なる感覚的な説明であり、幾何学的な証明ではないのでは？ と思いました。

やはり結論的には背理法による証明しかないのでしょうか？

お礼日時：2018/04/27 21:28