数学「「Ａ⇒B」が真であることを背理法を用いて示せ。」という問題で、解き方は、「Bでないと仮定

Question

数学

「「Ａ⇒B」が真であることを背理法を用いて示せ。」
という問題で、解き方は、
「Bでないと仮定するとＡでないことを示す。」
らしいのですが、何故これで真であることが示されたことになるのかが全く理解できません。
また、「Bでないと仮定する」とは「Ａ⇒Bでない」と仮定することですか？

どなたか詳しい解説をおねがいします。

Tacosan · Accepted Answer

「B でない」はそのまま「結論の部分だけを否定する」です. 「A⇒B」全体を否定するわけじゃないです.

と書いておくけど, これはどちらかというと「背理法」よりも「対偶証明」だなぁ.

「背理法」で「A⇒B」が真であることを示すなら
A と「B の否定」を仮定して, 矛盾が生じることを示す
というのが普通の作戦.

対偶証明は「元の条件命題とその対偶の真理値が一致する」つまり
「A⇒B」が真であるとき, そしてその時に限り「『B の否定』⇒『A の否定』」も真
ということを利用して, 前者の代わりに後者を証明しようというもの.

もちろん「『B の否定』⇒『A の否定』」が証明できるならそれと A を組み合わせることで背理法に持っていけるけど, それよりは「対偶だから」ってやる方がシンプルだと思う.

tknakamuri · Answer

>「ＡならばB」が真である時、「ＡならばBでない」は偽になります。
これは誤り。Aが偽の時両方真になります。

Vignoles · Answer

排中律（二重否定除去）がその理由ですが具体的に考えたほうが分かりやすいと思います

konjii · Answer

「ＡならばB」が真である時、「ＡならばBでない」は偽になります。
この偽を証明することは命題を証明することになります。

usa3usa · Answer

＞「Bでないと仮定する」とは「Ａ⇒Bでない」と仮定することですか？
違います。
「AだけどBでない」と仮定することです。

れれれのれ。。 · Answer

簡単におもしろく説明します！
例えば、Bでないと仮定した時、
A→B以外のことが成り立ってしまった。
これはBでないと仮定したことが間違っていたんだ！！
すみませんでしたm(_ _)m
ってことはBであったんだね！
ってことです。

数学 「「Ａ⇒B」が真であることを背理法を用いて示せ。」 という問題で、解き方は、 「Bでないと仮定