なぜアキレスはカメに追いつけるのか

カメとアキレスがかけっこをする時、カメが先にスタートしたとすると、アキレスはカメに追いつくことはできない。なぜなら、アキレスがカメのもといた位置に達すると、カメはそれより先へ行っている。アキレスがまたその位置まで到達すると、カメはさらにその先へ行っている。このようにして、アキレスはいつまでたってもカメに追いつくことはできない。


という昔からよくある話ですが、これについて数学に弱い人を含む多くの人を納得させられるような説明はできるのでしょうか。
Web上で見た説明は難しい物ばかりで数学に弱い私には良く分かりません。
できるなら小学生でも分かるような説明をどなたかお願いします。

No.4 回答者： DASS 回答日時： 2001/07/29 00:23

小学生にわかるかどうか疑問ですが・・・

たぶん、この論理は正しくて、確かに「アキレスは亀においつかない」のでしょう。
でも、それは立場（見方）が違うからです。

「追いつく」「追いつかない」なので２つのことを考えなければなりません。それは「時間」と「距離」です。
「追いつく」というからには、「同じ時間に同じ場所にいる」事が前提です。つまり、「同じ時間に片方のスタート地点からの距離が、両者で同じ」と言うことです。

さて、この問題の場合、前半は距離について話しています。「アキレスがさっきの亀に位置まで進むと、亀は先に進んでいる」は距離の話です。
確かに距離のことだけを考えれば、絶対に追いつきません。
しかし、「アキレスがさっきの亀の位置まで進む時間」はどうでしょう？こっちもどんどん短くなっていきますよね。アキレスと亀の距離が近づけば近づくほど、「アキレスがさっき亀がいた位置に到着する時間」も短くなりますよね。いつかは０秒と思えるほど短い時間になります（小学生に極限は使えませんよね・・・）。問題のような条件でアキレスと亀が競争している時間は何秒ぐらいでしょうか？
簡単に「亀はアキレスの１０ｍ前からスタートする。亀は１秒間に５ｍすすみ、アキレスは１秒間に１０ｍ進む」としましょう。
スタートして１秒後には、アキレスは亀のスタート位置にいます。そして亀は５ｍ先に進んでいます。
次にアキレスが亀の位置に到着するのは０．５秒後です。亀は０．２５ｍ進んでします。
そして・・・アキレスは、いつまで経っても亀に追いつきません。なぜなら競争時間が２秒に到達しないからです
つまり、「スタートしてからの経過時間に限度を設けている」のです。それもよく考えないとわからないように混乱させながら。
いくらアキレスが早くても、「亀に追いつかない様に時間設定された条件」が、暗黙の内に課せられているのですから、アキレスが亀に追いつかないのは当然です。

またこの問題は、最後でいきなり「いつまでたっても」という時間を意味する言葉を使うことで、いかにも「時間の流れがいつでも同じようである」かの錯覚を与えています。
数学的だけでなく、心理的にも上手に作られてますよね。

こんな説明でよろしいでしょうか？

No.3 回答者： taropoo 回答日時： 2001/07/29 00:12

要するに話がどんどんスローモーション化してるから追いつけないように見えると言う事でしょう。

No.2 回答者： blackleon 回答日時： 2001/07/28 23:46

グラフを書いたらどうでしょう。

Ｘ軸に時間、Ｙ軸に距離をとると傾きが速さになります。
カメは原点からある一定の速さ（傾き）で走り(歩き）ます。
少し遅れて（時間Ｔだけ遅れてＸ軸（Ｔ、０）から出発）アキレスがカメよりも速く（カメより大きな傾きで）走ります。
二つの線は、かならずどこかで交わります。そこがアキレスがカメに追いつく場所（時間と距離）です。

No.1 回答者： kokiriko 回答日時： 2001/07/28 23:36

小学生にもわかる「アキレスとカメ」の話のページです。

でもこの話、屁理屈以外の何者でもないと思うのですが・・・

参考URL：http://www2.plala.or.jp/kamkamkam/gimon/no6/kame …