なぜアキレスはカメに追いつけるのか

カメとアキレスがかけっこをする時、カメが先にスタートしたとすると、アキレスはカメに追いつくことはできない。なぜなら、アキレスがカメのもといた位置に達すると、カメはそれより先へ行っている。アキレスがまたその位置まで到達すると、カメはさらにその先へ行っている。このようにして、アキレスはいつまでたってもカメに追いつくことはできない。


という昔からよくある話ですが、これについて数学に弱い人を含む多くの人を納得させられるような説明はできるのでしょうか。
Web上で見た説明は難しい物ばかりで数学に弱い私には良く分かりません。
できるなら小学生でも分かるような説明をどなたかお願いします。

No.11 回答者： pen2san 回答日時： 2001/07/29 06:11

アキレスは死んでしまって（？）存在しませんが、話す小学生は居ますよね（笑）。

で、実際にカメを夜店にでも行って買ってきて、「ヨーイ・ドン」で走ってみて、、。
もし小学生がカメを追い越せないのであれば「追い越せなかった」と言う事実を、追い越せたのであれば「追い越せた」と言う事実を受け止めて、それを肯定する為の理論を組み立てられては？？？
頭の中で考えるより、行動して物理的な事実を見つめることも必要です。
で、結論ですが、皆さんが回答されておられる様に「追いつくまでの過程を述べていて、追い越してからの状況を考慮していない。」ことがパラドックスの原因です。

この回答へのお礼

皆さん 様々なお答えありがとうございます。

お答えを見てみると最大のポイントは「時間を勝手に限定している」ということなのでしょうか。
そうだとしたら私が最初に書いた文

「カメとアキレスがかけっこをする時、カメが先にスタートしたとすると、アキレスはカメに追いつくことはできない。なぜなら、アキレスがカメのもといた位置に達すると、カメはそれより先へ行っている。アキレスがまたその位置まで到達すると、カメはさらにその先へ行っている。このようにして、アキレスはいつまでたってもカメに追いつくことはできない。」

のうちどこが間違っているのでしょうか。
それとも「ここが間違っている」とはっきりは決められないのでしょうか。
どなたかお願いします、教えて下さい。

お礼日時：2001/07/29 18:42

No.12 回答者： shushou 回答日時： 2001/07/29 19:01

＞「カメとアキレスがかけっこをする時、カメが先にスタートしたとすると、アキレスはカメに追いつくことはできない。

なぜなら、アキレスがカメのもといた位置に達すると、カメはそれより先へ行っている。アキレスがまたその位置まで到達すると、カメはさらにその先へ行っている。このようにして、アキレスはいつまでたってもカメに追いつくことはできない。」
＞
＞のうちどこが間違っているのでしょうか。

皆さんのおっしゃっているように
アキレスは亀に簡単に追いつくことはできるんですから、
最後の１文の
”いつまでたっても”
が間違いです。正しい文にするにはこの部分を
”ある限定された短い時間の中では”
と変更すれば良いと思います。

No.13 回答者： kokiriko 回答日時： 2001/07/29 19:08

アキレスと亀は、数学の事象を表す例題なのです。

アキレスが亀を追い越せないということ自体がレトリックなのです。
アキレスが亀を追い越してしまったら、目的とする数式が導き出せないために追い越せないという前提を科しているにすぎません。
それを成立させるために、アキレスと亀の時間は、計測時間を前回の半分にしていきます。これは同じ時間軸で計測させた場合、この例題が成立しないことを物語っています。

No.14 回答者： pen2san 回答日時： 2001/07/29 19:44

Shushouさんの回答通り、「アキレスはいつまでたってもカメに追いつくことはできない。

」と言う所に無理があります。
例えば、１＋１／２＋１／４＋１／８＋１／１６＋１／３２＋………と無限に足算をした場合、ある一定の値（この場合は２）には近づきますがその合計が無限になる訳ではありません。今の例ではアキレスの走る速さがカメの２倍の際の例で、追いつくまでの時間はアキレスとカメの距離を速度差で割った値の２倍の時間で追いつくことがわかります。つまり、この値までは追いつく事が出来ないわけです。
よって、「いつまでたっても」が間違いと言えば間違いです。

この回答へのお礼

皆さん様々なお答え、アドバイスなどありがとうございます。

こんなにもたくさんの人からご意見が頂けるとは思ってもいませんでした。おかげさまで数学に弱い私にもようやく納得ができました。
一つの問題にこれほど多くの物の考え方があることにビックリです。これをきっかけに数学の勉強にも励みたいと思います。

ありがとうございました。

お礼日時：2001/07/29 23:42